אילנה, אייל, רועי, רותם, רותם, רותם, נאור, יוני, תמיר

9 המושגים הבסיסיים ב (חזרה) משתנה אקראי הגדרות גודל שמאפיין איבר מסוים בקבוצת איברים מאותו סוג, מאיבר לאיבר באקראי. ושעשוי להשתנות משתנה אקראי מאופיין על ידי שם, מספר האיבר שאותו הוא מאפיין, וגודל (ערך). שכיח הערך הנפוץ ביותר, מופיע מספר פעמים הגדול ביותר בסדרה. ערכו של שכיח הוא לאו דווקא מספרי: הוא יכול להיות מספר הסדרה הם מספרים), כל מאפיין אחר וכד'). (כאשר איברי ויכול להיות גם (כגון שם עצם, צבע דוגמאות X ספרה המופיעה על-גבי אחת מכמה קוביות-משחק, N מספר הקובייה. X = 5, X 1 = 6, X = משמע: על-גבי קובייה מס. 1 הופיעה הספרה 6, על פני קובייה מס. הופיעה הספרה 5 ועל-גבי קובייה מס. הופיע. 1) בסדרת המספרים: 1, 1, 1,, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10, 15 השכיח הוא המספר 5. ) בסדרת שמות התלמידים: אילנה, אייל, רועי, רותם, רותם, רותם, נאור, יוני, תמיר השכיח הוא רותם. 1 4 5 7 10 15 1 1 4 1 1 שכיחות מספר המופעים של ערך (מאורע) מסוים בסדרה. מספר שכיחות שכיחות יחסית יחס של שכיחות המאורע לסה"כ מספר המאורעות בסדרה. שכיחות יחסית באחוזים ערך השכיחות המבוטא באחוזים. טבלת שכיחויות יחסיות באחוזים סכום ערכי השכיחויות היחסיות של כל המאורעות בסדרה שווה ל %100: הספרה 5 מופיעה 4 פעמים מתוך סה"כ 1 איברי הסדרה. השכיחות היחסית שווה: מספר שכיחות ב-% סה"כ: s(5) = 4 1 s(5) = 4 Ó 0.1 = 1% 1 1 4 5 7 10 15 8 8 0 15 8 8 + 8+8+0+15+8+8 = 100. תיאור גרפי של נתנונים 55

המונחים הבסיסיים: שכיחות; שכיחות יחסית (הרחבה) למספר הקולות, כלומר מספר המצביעים למפלגה מסוימת, בדרך כלל או למספר המאורעות מסוג מסוים קיים שם מיוחד שכיחות. שכיחות מספר המופעים של מאורע מסוים בסדרה את טבלת תוצאות הבחירות אפשר לרשום כך: המפלגה הירוקים הכתומים העצלנים החרוצים הסטודנטים 1,900,87 10,890 565 השכיחות 857 איזו מפלגה זכתה בכמות רבה ביותר של מצביעים? מהטבלה רואים מיד שזו מפלגת הסטודנטים. המצביעים לסטודנטים הם בעלי השכיחות הגבוהה ביותר; ב, את הערך הנפוץ ביותר, המופיע מספר פעמים הגדול ביותר בסדרת הנתונים מכנים השכיח. ערכו של שכיח הוא לאו דווקא מספרי: הוא יכול להיות מספר (כאשר הנתונים הם מספרים), ויכול להיות גם כל מאפיין אחר (כמו שם המפלגה הסטודנטים בדוגמה הנ"ל). איזה חלק של אוכלוסיה מייצגת כל מפלגה? כדי לחשב זאת, יש לחלק את מספר המצביעים לכל מפלגה 5) = 1,,, 4, i (m i, במספר הכולל M של המצביעים: M = 1,900 +,87 + 10,890 + 5,65 + 8,57 = 41,599 שכיחות יחסית יחס של שכיחות המאורע לסה"כ מספר המאורעות בסדרה s i = m i M נחלק את השכיחות של מצביעי כל מפלגה m i במספר זה ונקבל טבלת שכיחוי תו יחסיות:. תיאור גרפי של נתנונים 56

המפלגה הירוקים הכתומים העצלנים החרוצים הסטודנטים 0.1 0.09 0.6 0.1 0.1 שכיחות יחסית נחבר את כל הערכים של שכיחות יחסית: כלומר: 0.1 + 0.09 + 0.6 + 0.1 + 0.1 = 1 סכום כל הערכים של שכיחות יחסית עבור סדרת המאורעות הנתונה שווה ל- 1. אם ידועים מספר מאורעות מסוג מסוים (השכיחות) m i והשכיחות היחסית של המאורע, אפשר לחשב את מספר המאורעות מכל הסוגים M: דוגמה 1 s i (1) השכיחות היחסית של המצביעים למפלגת "השלום" היא 5%, ומספר הקולות שהיא קיבלה היה 155,000. כמה אנשים השתתפו בבחירות? נשתמש בנוסחה שפיתחנו ונקבל: M= m i = 155000 s i 5% = 155000 =,100,000 5 100 לעיתים מעדיפים להציג את ערכי השכיחות היחסית באחוזים. M = m i s i שכיחות יחסית באחוזים ערך השכיחות המבוטא באחוזים כדי להמיר מספר מסוים לאחוזים יש להכפילו ב- 100. טבלת את כך נקבל השכיחות היחסית באחוזים עבור תוצאות הבחירות שערכנו: המפלגה הירוקים הכתומים העצלנים החרוצים הסטודנטים 1% 9% 6% 1% 1% שכיחות יחסית (%). תיאור גרפי של נתנונים 57

כמובן, סכום כל הערכים שווה ל- 100%: 1% + 9% + 6% + 1% + 1% = 100% סכום כל הערכים של שכיחות יחסית באחוזים עבור סדרת המאורעות הנתונה שווה ל- 100%. הטבלאות הנ"ל של ערכי השכיחות, השכיחות היחסית והשכיחות היחסית באחוזים מראות את התפלגות הערכים על-פי סוג המאורע, והן מכונות טבלאות התפלגות השכיחות (או השכיחות היחסית). בדוגמה של תוצאות הבחירות, המאורע הוא הצבעה עבור מפלגה מסוימת (ירוקים, סטודנטים וכו'), כלומר, מקרה מסוים, או מאפיין של עצם או התרחשות (לדוגמה: צבע, גודל, טמפרטורה וכד'), והשכיחות מספר המאורעות מכל סוג (מספר הקולות עבור כל מפלגה). הערה: דוגמה בתור מאורע יכול להופיע גם מספר; מטילים קובייה שעל פאותיה מספרים מ- 1 עד 6. המספרים שעל הפאה העליונה היו כדלקמן: א) ב) א) ב).1,4,6,,1,,4,4,1,5,,1,5,6,6,,4,1,,5,,1,1,4,6,,, מה שכיחות ההופעה של הספרה 5? רשמו את טבלת השכיחויות והשכיחויות היחסיות לכל המספרים. נסמן ונספור את המספר 5 בסדרת הנתונים:.1,4,6,,1,,4,4,1,5,,1,5,6,6,,4,1,,5,,1,1,4,6,,, שכיחות ההופעה של המספר 5 שווה ל = : 5 m בדומה נמצא שכיחויות של הופעת יתר הספרות: m 1 = 7, m = 4, m = 5, m 4 = 5, m 6 = 4 כדי לחשב את השכיחויות היחסיות, נספור את מספר כל ההטלות: M = 8 נשתמש בנוסחה (1), ונחשב את השכיחויות היחסיות: s 1 = m 1 M = 7 8 =0.5, s =0.14, s =0.18, s 4 =0.18, s 5 =0.11, s 6 =0.14. תיאור גרפי של נתנונים 58

נמלא את טבלת השכיחויות: 6 5 4 הספרה 1 4 0.14 14% 0.11 11% 5 0.18 18% 5 0.18 18% 4 0.14 14% 7 0.5 5% שכיחות שכיחות יחסית שכיחות יחסית באחוזים הגדרה: הערך בסדרת הערכים האקראיים בעל שכיחות (או שכיחות יחסית) הגבוהה ביותר מכונה שכיח. דוגמה לפניכם רשימת הציונים של תשעה תלמידים בכיתה י' במקצועות המתמטיקה והאנגלית: מתמטיקה: 40, 60, 60, 70, 70, 70, 80, 80, 100 אנגלית: 40, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 100 מצאו את הציון השכיח בכל מקצוע. נרשום את טבלת השכיחויות של הציונים: מתמטיקה 100 90 80 70 60 50 ציון 40 1 0 70 0 שכיחות 1 השכיח אנגלית 100 90 80 70 60 50 ציון 40 1 1 1 1 100, 40 1 שכיחות השכיח תשובה: במתמטיקה, הציון השכיח הוא 70;.40 באנגלית, ישנם שני ציונים שכיחים: 100 ו-. תיאור גרפי של נתנונים 59

התיאור הגרפי של נתונים (תקציר) דרך אחת להציג את ערכי המשתנה ואת התפלגות השכיחויות היא טבלה. אולם ייצוג נתונים באמצעות הטבלה אינו מאפשר הסקת מסקנות מהירה. דרך אחרת לתיאור הנתונים היא הייצוג הגרפי. דוגמאות המשתנה האקראי X הוא מידת נעל י התלמידים של כיתה מסוימת. טבלת השכיחויות היא: X 8 9 40 41 4 4 44 45 M 5 7 6 4 1 מצולע שכיחויות אם ידועות השכיחויות M i עבור ערכי המשתנה האקראי X, i אפשר לסמן את הנקודות ) i (X i ; M בצירי הקואורדינטות ולחבר אותן באמצעות קטעים ישרים. לקו המקוטע שנוצר מכונים מצולע שכיחויות. היסטוגרם דיאגרמת מלבנים, מלבן מסמן טווח ערכי גודל השכיחות המתאימה. כאשר רוחב כל וגובהו X i דיאגרמת מקלות (מכונה גם דיאגרמת עמודות או דיאגרמת מוטות) על ציר ה- X מופיעים ערכי המשתנים, ציר ה- Y הוא תדירויות הופעת משתנה בערך מסוים (שכיחות). אפשרי של המשתנה ניצב על כל ערך "מקל" בגובה פרופורציוני למספר הפעמים שערך זה מופיע בסדרה.. תיאור גרפי של נתנונים 60

דיאגרמת עיגול (עוגה) תרשים בצורת מעגל המציג התפלגות השכיחויות: צבוע בצבעים כפרוסות בעוגה, (או גוונים) את שטח המעגל כאשר שונים, הזווית המוקדשת לכל צבע נמצאת ביחס ישר לשכיחות הופעת ערכי המשתנה השונים בסדרה. גרף רציף כאשר משתנה אקראי X מוגדר בתחום של מספרים ממשיים, מספר הנקודות במדגם שואף לאינסוף, ומצולע השכיחויות הופך לעקום חלק, המכונה גרף התפלגות השכיחויות השכיחויות). 0 (או פיזור תיאור גרפי של נתונים (הרחבה) דיאגרמת עמודות (מקלות) בדומה לייצוג הגרפי של קשר בין משתנים אלגבריים, גם את המידע הסטטיסטי אפשר להציג בצורה של דיאגרמת העמודות, כאשר על ציר ה- x מציינים את מאפייני הנתונים, לדוגמה:שם (חודש, מפלגה,...), מספר סידורי (כאשר הנתונים ממוספרים) אחר; או כל מאפיין גובה המקל מתאר את השכיחות (מוחלטת, יחסית או באחוזים). כך לדוגמה, נראית דיאגרמת העמודות של תוצאות הבחירות, כאשר במקום שמות המפלגות מופיעים מספרם הסידורי: הירוקים 1 הכתומים העצלנים - החרוצים 4 הסטודנטים 5. תיאור גרפי של נתנונים 61

כמו במקרה של גרף המתאר קשר בין משתנים, יש לשים לב לשני הצירים: אילו מאפיינים מופיעים בציר- x, אילו נתונים בציר- y, מה החלוקה, המרחק בין השנתות, מה הטווח? דיאגרמת המקלות מאפשרת הצגה מוחשית יותר של נתוני הטבלה. אם לדוגמה, נציג את נתוני השכיחות של הטלת הקובייה, נקבל: דיאגרמת מקלות מאפשרת במבט חטוף להעריך את מהות הנתונים. כך, אנו שמים 1 הופיעה יותר מפי- לב לכך, שהספרה על פגם דבר המצביע 5, פעמים מהספרה איזשהו בקובייה. מה היסטוגרם במקרים רבים, כאשר מאפייני המאורעות הם מספרים רציונליים (הן שלמים והן שבריים) בתחום רחב, רישום הנתונים בטבלה או בדיאגרמת המקלות אינו (עקב ריבוי משבצות בשורת הטבלה, או מקלות צפופים ובלתי ניתנים מעשי לקריאה בדיאגרמת המקלות). 40 נתבונן ברשימת ציוני המבחן במתמטיקה בכיתה מסוימת בת לדוגמה, תלמידים: משה 78 אריה 84 תמיר 97 נאור 91 נועה 6 אילן 75 יוני 96 בוריס 80 בלה 5 אלון 40 עופר 85 אילנה 66 אלכס 79 דן 7 דימה 8 דב 70 דנה 8 ורד 5 אהוד 87 בועז 61 יוסי 68 זיו 84 תמרה 77 נווה 91 ניר 6 עידו 75 רחל 96 בני 80 לילי 5 ירון 40 רועי 85 מיכל 66 מיכאל 79 סיגל 74 סיגלית 8 נועם 70 רון 8 סימה 5 יורם 87 עופר 61. תיאור גרפי של נתנונים 6

אלה הם נתונים גולמיים, שאינם מאורגנים בדרך המאפשרת הסקת מסקנות מהירה. אולם הניסיון לארגן אותם בצורה של טבלה או בדיאגרמת מקלות לא יצלח עקב ריבוי המשבצות או המקלות. כיצד על המורה לארגן את הנתונים כדי לדעת כמה תלמידים עברו את המבחן וכמה נכשלו, כמה הצטיינו וכמה אכזבו? אחת הדרכים המקובלות בבית ספר היא לארגן נתונים בקבוצות: ציון קטן מ- 60 בלתי מספיק ציון בין 60 ל- 70 מספיק ציון בין 70 ל- 80 טוב ציון מעל 90 מצוין ציון בין 80 ל- 90 טוב מאוד מצוין 90 < טוב מאוד 90-80 טוב 80-70 מספיק 70-60 ציון ב. מספיק < 60 5 1 10 שכיחות 7 6 כעת אפשר למלא את טבלת שכיחויות הציונים עבור חמש הקבוצות: ברור, הגולמיים. שארגון בקבוצות וייצוג בטבלה הם מוחשיים בהרבה מהנתונים אולם, כיצד להציג טבלה זאת בצורה גרפית: הרי במקום ערך נקודתי כמאפיין המאורע (כמו: ספרה מסוימת על פני הקובייה או מספר המפלגה) מופיע בטבלה תחום הערכים? אם נסמן גבולות של כל תחום בציר ה- x, ונשרטט מעליו מלבן שרוחבו מסמן את תחום המאפיינים וגובהו את גודל השכיחות המתאימה, נקבל היסטוגרם. בציר- y של ההיסטוגרם יכולה להופיע שכיחות (מספר הופעות המאורע), שכיחות יחסית, או שכיחות באחוזים. נזכיר, שכדי לחשב שכיחות באחוזים, יש לחשב תחילה שכיחות יחסית של כל מאורע (כיחס שכיחות המאורע למספר כולל של המאורעות), ואחר-כך להמיר את 60

המספר לאחוזים. בכיתה 40 תלמידים, לכן = 40 M, וערכי השכיחות היחסית עבור 5 קבוצות הציונים הם: s <60 = 6 40 =0.15, s 60-70 =0.17, s 70-80 =0.5, s 80-90 =0., s 90-100 =0.1 טבלת השכיחויות תיראה בהתאם: היסטוגרם המציג את השכיחות היחסית והשכיחות באחוזים דומה להיסטוגרם של השכיחות המוחלטת, אלא שבציר- y מוצגים ערכי השכיחות היחסית: הערה 1: רוחב המלבנים בהיסטוגרם אינו בהכרח שווה: הוא מציין את תחום הערכים המאפיינים את הקבוצה, ויכול להשתנות מקבוצה לקבוצה. הערה : ציר ובהיסטוגרם ה- x בדיאגרמת אינו ציר מספרים; מקלות עליו רושמים את מאפייני המאורעות ואת קבוצות המאורעות שמות כמו: החודשים, ציונים וכד'. לכן אין צורך בשמירה על קנה המידה ועל המרחקים בין השנתות; עקב כך אפשר לשרטט באותם הצירים, בו-זמנית, קבוצות נתונים מאותו סוג, השייכים לשנים שונות, כיתות שונות וכו'. מצוין 90 < 0.1 1% טוב מאוד 90-80 0. 0% לדוגמה, ההיסטוגרם שמשמאל מציג התפלגות ציוני המבחן עבור שתי כיתות, ו- י'- 5 : ציון שכיחות יחסית שכיחות באחוזים ב. מספיק < 60 מספיק 70-60 את י'- 1 טוב 80-70 0.5 5% 61 0.17 17% 0.15 15%

אפשר להציג נתונים גם יותר משתי חבורות של קבוצות; במקרה זה משרטטים עמודות בגוונים או בצבעים שונים, כמו בהיסטוגרם המציג צריכת חשמל לפי עונות השנה ב- שלוש שנים שונות: דיאגרמת עיגול תרשים בצורת מעגל המציג את השכיחות (או את השכיחות היחסית) כשטח הגזרה של מעגל, (פרוסות בעוגה) מכוּנה דיאגרמת עיגול. מכיוון ששטח גזרה נמצא ביחס ישר לגודל הזווית המרכזית של הגזרה, יוצא ששכיחות האירועים מיוצגת הן על-ידי שטח הגזרה, הן על-ידי "רוחבהּ", והן על-ידי צבע (או גוון), דבר המסביר את השימוש הרב בדיאגרמות העיגול במצגות. כדי לשרטט דיאגרמת עיגול, יש לחשב זווית מרכזית של כל גזרה; מכיוון שסכום כל הערכים של שכיחות יחסית הוא 100%, למה שתואמת הזווית של 60, אז לשכיחות של %n מתאימה הזווית: ¹Ý = 60Ý 100 *n דוגמה 4 מה זוויות הגזרות בדיאגרמת עיגול המתארות את השכיחות היחסית של הקולות שקיבלה כל מפלגה? נשתמש בנוסחה שפיתחנו, ונציב בה את ערכי השכיחות היחסית עבור כל מפלגה: = 60Ý הי רוקים ¹ 100 *1 = = הכתומים 75.6Ý, ¹ 60Ý *1 = 46.8Ý 100 = 60Ý העצלנים ¹ 100 *6 = = הח רוצים 9.6Ý, ¹ 60Ý *9 =.4Ý 100 *1 = 111.6Ý ס ט ו ד נ ט י ם ¹ = 60Ý 100 6

כמו בייצוגים האחרים, גם בייצוג העיגול מתקיים: סכום הערכים של שכיחות יחסית עבור כל המאורעות או קבוצות המאורעות שווה ל- 1 (סכום כל הערכים של השכיחות באחוזים שווה ל- 100%). דוגמה 5 בדיאגרמת העיגול מוצגות תוצאות המבחן בכיתה י' - 1. איזה אחוז מהתלמידים נכשלו במבחן? סכום כל השכיחויות באחוזים הוא 100%. לכן הערך הבלתי ידוע שווה ל- 100% - (0%+5%+18%+1%) = 14% תשובה: 14% 1 מדדים סטטיסטיים. הממוצע כיצד להשוות סדרות שונות של נתונים? על-פי מספר האיברים? על-פי האיבר הגדול ביותר? הגדול ביותר? או הקטן ביותר? נתבונן ברשימת ציוני המבחן. מספיק" עד ל"מצוין" אולי להשוות את שכיחות ההופעה של האיבר החלוקה לחמש קבוצות הציונים מציגה את התפלגות (פיזור) מ"בלתי השכיחויות של הציונים, אולם ממנה אי-אפשר לדעת, מה הציון הגבוה ביותר ומה הנמוך ביותר. האם זה תמיד נחוץ? מסתבר שלא. במקרים רבים די לדעת את הממוצע של כל הציונים: כך למשל, מעריכים את הצלחת הכיתה במבחן, חשמל צריכת את במשפחה, את רמת ההשכלה של אוכלוסייה, את המשכורת הממוצעת במשק ועוד על-פי הערך הממוצע. ישנן כמה הגדרות לממוצע. קיימים: ממוצע חשבוני, ממוצע הנדסי, ממוצע הרמוני ועוד; הפשוט ביותר ביניהם הוא הממוצע החשבוני, שאותו נכנה בהמשך כסתם ממוצע. 6

הממוצע X של שני מספרים x 1 ו- x שווה למחצית סכומם : X = x 1 + x דוגמאות = 4 + 6 X 4, x = 6, = 1 ב) x 1 = 7, x = -7, X = 7 + (-7) = 0 x א) = 5 ג) = 6 6 = 6 + X x 1 = 6, x = 6, רואים שהממוצע יכול להיות בין שני המספרים (כמו במקרה א'), הוא יכול להיות שווה לאפס (מקרה ב'), הוא יכול להיות שווה לשני המספרים (כאשר הם שווים, כמו במקרה ג'). אם נסמן את המספרים x 1 ו- x על ציר המספרים, נקבל: 0. [x 1, x א) ב) ג) 6 x - 0 x 0 4 6 x ממוצע ממוצע ממוצע הממוצע של שני המספרים תמיד נמצא בנקודה האמצעית של הקטע ] ממוצע X של שלושה מספרים x x, 1 ו- x שווה לסכומם מחולק ב- : X = x 1 + x + x דוגמאות א) = 4 6 = 1 + 5 + X x 1 = 1, x = 5, x = 6, ב) = 1 0 + (-) + 6 = X x 1 = 6, x = -, x = 0, - + (-) + (-) ג) - = = X x 1 = -, x = -, x = -, נסמן את המספרים x x, 1 ו- x על ציר המספרים: 0 x - 0 6 x ממוצע 0 6 x 1 ממוצע 5 ממוצע ג) ב) א) גם כאן רואים שהממוצע נמצא בתוך קטע הציר המכיל את שלושת המספרים. לידיעת הסקרנים: הממוצע החשבוני מהווה מרכז כובד של המשקולות הנמצאות בנקודות ששיעורי- x שלהן שווים למספרים הנתונים. מוט שעליו תלויות משקולות בנקודות המתאימות, ונתמך בנקודת הממוצע יישאר בשווי משקל. 64

במקרה הכללי, הממוצע X של קבוצת מספרים שווה לסכומם מחולק במספרם: אם כל ערכי הקבוצה x 1, x,, x n הם שונים, אז: כאשר N מספר כולל של הערכים. דוגמה 1 (1) X = x 1 + x +... + x n N שתי מתעמלות קיבלו נקודות עבור הופעתן בתחרות מהרכב של תשעה שופטים, כפי שרשום בטבלה: מספר המתעמלת 4 1 מספר השופט 9 8 7 6 5 4.7 4.8 4.9 4.9 4.7 5. 4.9 5.6 4.8 1 5.0 5.1 5.0 5.1 5.0 4.9 5.0 4. 5.1 איזו מתעמלת ניצחה? נחשב את הציון הממוצע של כל מתעמלת: X 1 = 4.8+5.6+4.9+5.+4.7+4.9+4.9+4.8+4.7 = 4.94 9 () () X = 5.1+4.+5.0+4.9+5.0+5.1+5.0+5.1+5.0 = 4.9 9 המסקנה: המתעמלת הראשונה ניצחה, למרות שברור, שלמתעמלת השנייה מרבית ההשוואה היו הציונים גבוהים מ- לטובת המתעמלת,5.0 הראשונה ולראשונה כמעט נראית לא הוגנת. כולם קטנים מ- קרוב לוודאי.5.0 בעקבות החלטת השופט השני, שהעניק ציון גבוה למתעמלת הראשונה, בהשוואה לשופטים אחרים, וציון נמוך במיוחד למתעמלת השנייה. כדי למנוע מצבים כאלה, בשנים האחרונות בתחרויות בינלאומיות משמיטים את הציון הגבוה ואת הנמוך ביותר מכלל הציונים. X 1 = לאחר השמטת הציונים הקיצוניים נקבל: 4.8 + 4.9 + 5. + 4.7 + 4.9 + 4.9 + 4.8 7 = 4.89 65

X = 5.0 + 4.9 + 5.0 + 5.1 + 5.0 + 5.1 + 5.0 7 = 5.01, X 1 < X מסיקים שהמתעמלת השנייה ניצחה. מכיוון ש- מטבלת הניקוד רואים שכמה שופטים העניקו ניקוד שווה; את הציון 4.9 למתעמלת הראשונה העניקו שלושה שופטים, ואת הציונים 4.7 ו- 4.8 העניקו לאותה המתעמלת שני שופטים. אפשר לרשום את טבלת השכיחויות של ציוני המתעמלת הראשונה כך: 4.7 5. 4.9 5.6 4.8 ציון ) i (x 1 1 שכיחות ) i (m מכיוון שבחישוב הממוצע לפי הנוסחאות () ו- () מחברים את כל הציונים, אפשר לקצר את הכתיבה, ולרשום כל ציון מוכפל בשכיחות הופעתו: 4.8* + 5.6*1 +4.9* + 5.*1 + 4.7* X 1 = 9 = 4.94 בדומה לכך אפשר לרשום את הציון הממוצע של המתעמלת השנייה: X = 5.1*+4.*1+5*4+4.9*1 = 4.9 9 בכלל, כאשר שכיחויות הופעת הערכים x 1, x,, x n הן:, m 1, m,, m n נקבל עבור הממוצע: () X = x 1 *m 1 + x *m +... + x n *m n N כאשר N הוא מספר הופעתם של כל הערכים (השווה לסכום כל השכיחויות): N = m 1 + m + + m n דוגמה בחודש יולי תלמידי כיתה י' עבדו בקטיף; הבנים הרוויחו בממוצע, 000 והבנות - 1800. בכיתה 15 בנים ו- 0 בנות. א) כמה כסף הרוויחו כל תלמידי הכיתה? 66

ב) כמה הרוויח בממוצע כל תלמיד בכיתה? סכום כל הערכים ממוצע = נשתמש בנוסחת הממוצע (1): מספר הערכים ונמצא, כמה הרוויחו הבנים והבנות בנפרד: נכפיל שני האגפים במספר הערכים, ונמצא את המבוקש: סכום כל הערכים = מספר הערכים כפול הממוצע עבור הבנים: מספר הערכים = 15, ממוצע = 000, לכן הבנים הרוויחו 15 000 = 0,000 ( ) עבור הבנות: מספר הערכים = 0 ה, ממוצע = 1800, לכן הבנות הרוויחו 0 1800 = 6,000 ( ) א) הבנים והבנות הרוויחו יחד: ( ) 66000 = 6000 0000 + מספר התלמידים בכיתה: = 5 0 15. + לכן, בממוצע, התלמידים הרוויחו: 66000 =1885.71 ( ) ב) 5 כאשר שכיחות הערכים נתונה כשכיחות יחסית, הנוסחה () הופכת לנוסחה: () X = x 1 *s 1 + x *s +... + x n *s n כאשר s 1 = m 1 N, s = m N,..., s n = m n N הם ערכי השכיחות היחסית (או שכיחות יחסית באחוזים). 67

תרגילים מ צאו ממוצע של סדרת הנתונים: א) ג), 4, 1,, 5 ב), -5, 4, -, -, 1 -, -,,,, 5, 5 ד) 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6 מ צאו ממוצע של סדרת הערכים (4 =,1,, i) x i המופיעים בשכיחות m i בהתאמה : א) 5-1 x i.1. 5 4 m i ב) שכיחות 6 5 1 0 x i 6 5 4 שכיחות m i מדדו בשיטות שונות משקל סגולי של חומר שממנו יצרו חלק מסוים, וקיבלו את סדרת הערכים שלפניכם: 6.98 ג'/סמ"ק, 7.04 ג'/סמ"ק, 7.01 ג'/סמ"ק, 6.97 ג'/סמ"ק, 7.00 ג'/סמ"ק. מצאו את הערך הממוצע. מאיזה חומר לדעתכם יצרו את החלק? וותק עבודה של שמונה מורים המלמדים בכיתות י' של בית הספר הוא:..4 5 שנים, 8 שנים, 15 שנים, 1 שנים, 17 שנים, 14 שנים, 18 שנים, 9 שנים. מה הוותק הממוצע של מורים אלה? 5. בשיעור ספורט בכיתה י' התאמנו בנות הכיתה בקפיצה לגובה. את התוצאות היו: 90 ס"מ, 15 ס"מ, 15 ס"מ, 10 ס"מ, 15 ס"מ, 15 ס"מ, 15 ס"מ, 15 ס"מ, 140 ס"מ, 140 ס"מ, 140 ס"מ. מה הגובה המתאר בצורה הטובה ביותר את רמת ההכנה של בנות הכיתה? 6. בטבלה רשומים נתוני הוותק של עובדי מפעל. מה הוותק הממוצע של העובדים? 5 1 0 19 16 1 11 10 7 5 4 ותק 1 1 1 5 1 4 מספר עובדים 4 1 68

תכונות הממוצע א) ערך הממוצע אינו תלוי בסדר הופעת הנתונים הוכחה מכיוון שממוצע שווה לסכום כל האיברים מחולק במספרם, וסכום המספרים אינו משתנה אם משנים את סדר הופעת המחוברים, אז גם ערך הממוצע אינו משתנה אם מחליפים סדר האיברים. ב) אם נוסיף (או נחסיר) לכל איברי הסדרה מספר כלשהו, ערך הממוצע יגדל (או יקטן) באותו המספר. הוכחה תחילה נתבונן בממוצע של שני מספרים, a ו- b; הממוצע שווה ל- נוסיף לכל איבר מספר איזשהו c: X 1 = a + b a a + c, b b + c ערך הממוצע החדש: (a + c) + (b + c) X = נפתח סוגריים, נכנס איברים דומים, נציג שבר כסכום שני השברים, ונקבל את מ.צ.ל: (a + c) + (b + c) X = = a + b + c = a + b + c = X 1 + c כלומר, הממוצע החדש גדול מהממוצע הקודם באותו המספר c שהוספנו לכל אחד מהאיברים a ו- b. מכיוון שפעולת החיסור שקולה לחיבור של מספר שלילי, נסיק שהמשפט שהוכחנו מתקיים גם עבור החיסור. בדיקה נבחר שני מספרים: 1- = b a; =,7 נחפש את הממוצע: נוסיף לכל איבר מספר = 1 c: נחשב את הממוצע: 7 + (-1) ;b + c = -1 + 1 = 0 8 + 0 69 = 6 =,a + c = 7 + 1 = 8 = 4

.4 = + 1 הממוצע גדול מהממוצע המקורי ב- = 1 c: המקרה הכללי קבוע לכל אחד מהם, כאשר הנתונים מכילים n איברים c,,a, b, נקבל תוצאה דומה: X 1 = a + b + c +... n ומוסיפים מספר X = a+ +b+ +c+ +... n = a+b+c+...+n* n = a+b+c+... n + n* n = = X 1 + כלומר, הממוצע החדש שווה לממוצע הישן בתוספת אותו המספר שחיברנו לכל אחד מאיברי הסדרה. נחסיר אותו מהתוצאה ונקבל את הממוצע המקורי. הערה או גדולים; בתכונה זו של הממוצע נעזרים כאשר רוב הנתונים הם מספרים שליליים במקרה זה מוסיפים לכל איבר מספר חיובי שכל האיברים כזה, c יהפכו לחיוביים. מחשבים את הממוצע ומחסירים מהתוצאה את המספר c. דוגמה 1 נתונה סדרת המספרים: -1-10, 4, -5, -8,, -1,., מה הממוצע של הסדרה? המספר הקטן ביותר הוא (10-). נוסיף לכל האיברים את המספר הנגדי (10), ונקבל את הסדרה הזאת:.1, 9, 1,, 5, 14, 0, 9 נחשב את הממוצע: 1+9+1++5+14+0+9 =8 8 נחסיר את המספר שהוספנו: - = 10.8 תשובה: דוגמה - נתונה סדרת המספרים: מה הממוצע של הסדרה? 15, 144, 11, 140, 18, 17, 19, 1 נחסיר מכל איבר בסדרה את המספר 10, ונקבל סדרה חדשה: נחשב את הממוצע : 7= 5, 14, 1, 10, 8, 7, 9, 5+14+1+10+8+7+9+ 8 70

נוסיף לתוצאה 10 (המספר שהחסרנו מכל איבר) ונקבל את התשובה: תשובה: ג) יגדל 17 אם נכפיל (או נחלק) את כל איברי הסדרה באותו מספר, הממוצע (או יקטן) פי אותו המספר. נחלק במספר זה ונקבל את הממוצע המקורי. דוגמה בבניין (או נכפיל) 10 דירות, שמחיר כל אחת מהן בשקלים הוא: את התוצאה 1,00,000, 950,000, 1,80,000,,050,000, 1,950,000, 1,10,000,,100,000, 1,450,000, 1,800,000, 1,750,000 מה המחיר הממוצע של דירה? נחלק את כל איברי הסדרה ב- 10,000 ונקבל סדרה חדשה, שבה המספרים הם קטנים יותר (כלומר, המחירים החדשים הם בעשרות אלפי שקלים): נחשב את הממוצע: ד) 10, 95, 18, 05, 195, 11, 10, 145, 180, 175 X = 10+95+18+05+195+11+10+145+180+175 10 = 157.5 נכפיל את התוצאה ב- 10,000, ונקבל את המחיר הממוצע בשקלים: 1,575,000. אם נוסיף לסדרת הנתונים מספר השווה לממוצע של הסדרה, או נוציא מהסדרה איבר שגודלו שווה לממוצע, ערך הממוצע לא ישתנה. הוכחה תחילה נבדוק את הטענה על הדוגמה של שני מספרים כלשהם, למשל, 4 ו- 6; הממוצע שווה ל- X = 4 + 6 = 5 נוסיף 5, ונקבל סדרת נתונים חדשה: 5. 6, 4, X = 4 + 6 + 5 = 15 נ חשב את הממוצע: = 5 נוכיח כעת את הטענה בדרך אלגברית עבור סדרה בעלת שני איברים: a ו- b; הממוצע שווה ל- X 1 = a + b 71

, c = X 1 ונחשב ממוצע חדש נוסיף אל הנתונים איבר חדש c, השווה לממוצע (עבור סדרה בת איברים,,a b ו- c): a+b+ a + b = = a+b+a+b a + b = = (a+b) = a+b 6 6 6 X = a+b+c =X 1 בדומה לכך אפשר להוכיח שהוצאת האיבר השווה לממוצע של הנתונים (אם איבר כזה נמצא בין הנתונים) לא תשנה את הממוצע. דוגמה 4 הממוצע של המספרים 1,,, 4, 5 הוא: = 1+++4+5 = X 5 האיבר עם ערך זה נמצא בין הנתונים. נוציא אותו מהסדרה ונחשב ממוצע חדש: הממוצע לא השתנה. X = 1++4+5 4 = בסעיף ראינו שאפשר לדמיין את הממוצע של סדרת מספרים באמצעות הנקודה על ציר המספרים, שבה יש להציב תומך למאזני זרועות, הנתונים, כדי שהמאזניים יישארו בשווי משקל. שבהם "תלויים" ברור שאם נציב נתון נוסף בדיוק בנקודה שבה נמצא התומך, האיזון לא יופרע; לחלופין, אם אחד מהנתונים כבר נמצא a b c X בנקודה זו, האיזון לא יופרע אם נוריד אותו. זו המשמעות של הוספה או הוצאה של נתון השווה לממוצע. ד) אם נחלק סדרת נתונים לקבוצות בעלות מספר איברים שווה, ונחשב ממוצע בכל קבוצה, הממוצע של כל הנתונים שווה לממוצע של ממוצ עי כל הקבוצות.. 1,, 6, 7, 8, 1, 1, 15, 17 דוגמה 5 נתונים תשעה מספרים: נחשב את הממוצע: = 9 1++6+7+8+1+1+15+17 = X 9 נחלק את המספרים ל- שלוש קבוצות: 17) (1, 15, 1), (7, 8, 6),,(1,, ונחשב ממוצע של כל קבוצה: = 9, X = 1+15+17 = 15 X 1 = 1++6 =, X = 7+8+1 7

הממוצע של שלשת הממוצעים הוא: כלומר, X x = + 9 + 15 = 9 = X הממוצע לא השתנה, מ.צ.ל. אפשר להוכיח את המשפט הזה גם במקרה כללי: לחלק קבוצה של n מספרים ל- m תת-קבוצות (כאשר n מתחלק ב- m ללא שארית), לחשב ממוצע של כל המספרים בשתי דרכים: פעם אחת כממוצע של כל המספרים ופעם שנייה כממוצע של ממוצעי תת-הקבוצות: X 1 = x 1 + x +... + x n n X = x 1 + x +... + x m m תרגילים משקל חיילי היחידה בק"ג הוא: 68, 59, 71, 7, 60, 64, 58, 75, 66, 67 מ צאו את הממוצע של המשקלים. בבניין תשע דירות, שמחיר כל אחת מהן בשקלים הוא: 1,00,000, 950,000, 1,80,000,,050,000, 1,950,000, 1,10,000,,100,000, 1,450,000, 1,800,000 מה המחיר הממוצע של דירה?.1. 175 אחים, שני במשפחה שגובהו של כל אחד מהם הוא ס"מ, ושלוש אחיות,. שגובהה של כל אחת הוא 16 ס"מ. מה הגובה הממוצע של בני המשפחה? בתחרות השתתפו 0 קלעים. חמישה מהם צברו כל אחד 8 נקודות, שניים צברו, כל אחד, 85 נקודות, שמונה מהם - כל אחד 90 מהנותרים צבר 95 נקודות. מה היה ממוצע הנקודות של חברי הקבוצה? נקודות, וכל אחד.4 7

5. בטבלה שלהלן רשומים נתוני גובה הילדים בכיתה מסוימת והשכיחות של כל נתון. 155 154 15 הגובה (בס"מ) 15 8 השכיחות 1 מה הגובה הממוצע של הילדים? בטבלה רשומים הציונים השנתיים השכיחות.6 במתמטיקה של תלמידי ארבע הציון י' 4 י' י' י' 1 1 6 5 4 40 50 כיתות י' בבית ספר "השחר": מה הציון הממוצע בכל כיתה? 1 7 9 10 60 8 11 9 8 70 6 5 7 6 80 5 0 0 5 1 90 100 מצאו, בדרך הפשוטה ביותר, את הממוצע של כל סדרת הנתונים:.7 159, 158, 157, 150, 154, 156 1,, -1 1, 4, 1, -, 4, 0 00, 110, 1100, 770, 00 א. ב. ג. 199, 99, 499, 699, 1099 ד. לפניכם רשימת הציונים של תשעה תלמידים בכיתה י' במקצועות המתמטיקה והאנגלית:.8 מתמטיקה: 40, 60, 60, 70, 70, 70, 80, 80, 100 אנגלית: 40, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 100 מצאו את הציון הממוצע בכל מקצוע. החציון החציון דוגמה 1 בטבלה: בנבחרת כדורסל של שכבה ט' 5 שחקנים. נתוני הגובה שלהם נתונים 74

5 4 מס. שחקן 1 160 186 164 161 גובה (ס"מ) 15 הגובה הממוצע של השחקנים הוא: 160 + 186 + 164 + 161 + 15 X = = 164.8 5 אולם ממוצע זה מציג תמונה מטעה, מכיוון שגובהם של ארבעה מתוך חמישה שחקנים של הקבוצה נמוך מהגובה הממוצע, וזה בהשפעת גובהו של שחקן מס. 4. בדוגמה אחרת נתבונן בנתוני משקל של קבוצת האתלטיקה שבה - מתעמלים, מתאבקים ומרימי משקולות: אצנים, מס. האתלט משקל (בק"ג ( 11 5 10 70 64 9 8 5 7 60 6 57 5 94 4 86 98 87 1 69 המשקל הממוצע הוא: X = 69+87+98+86+94+57+60+5+64+70+5 = 71.8 11 גם במקרה זה משקלם של שבעה מתוך אחד-עשר הספורטאים קטן מהמשקל הממוצע. המשותף לשתי הדוגמאות הוא אי-האחידות של הנתונים: ישנם אחד או כמה נתונים קיצוניים, שאומנם משפיעים על הממוצע, אבל לא מייצגים את הקבוצה. במקרים כאלה, מקובל לתאר את סדרת הנתונים באמצעות מדד מרכזי אחר, המכונה חציון. החציון הוא הערך האמצעי של קבוצת נתונים, כאשר אלה מופיעים בסדר עולה או יורד. בדוגמה של גובה שחקני כדורסל, נסדר את הנתונים בסדר עולה: 15, 160, 161, 164, 186 הערך המרכזי הוא 161 ס"מ (וזה ללא קשר לערכי הגובה האחרים, שעשויים להשפיע על הממוצע!). 75

נסדר את הנתונים בסדר עולה גם בדוגמה של משקל שחקני האתלטיקה: 5, 5, 57, 60, 64, 69, 70, 86, 87, 94, 98 החציון הוא 69. בדוגמאות אלה, החציון היה הערך המרכזי, כלומר מימינו ומשמאלו מספר שווה של ערכים. כאשר מספר הנתונים הוא זוגי, לא קיים ערך מרכזי, והחציון מוגדר כממוצע שלשני הנתונים האמצעיים. דוגמה נתונות שתי סדרות נתונים: (1),,, 4, 4, 5, 5, 5, 8, 1 (),, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7. מספר האיברים בסדרה (1) זוגי (10 = N), לכן החציון שווה לממוצע של שני 4 + 5 הערכים המרכזיים, 4 ו- 5 : = 4.5 עבור סדרה (), החציון שווה לערך המרכזי (האיבר החמישי): 4. יש מקרים, שבהם צריך למצוא את החציון של סדרת הנתונים, שהשכיחות אינה שווה ל- 1 עבור כל נתון, כמו בדוגמה, המתארת את התפלגות הגבהים בקבוצת שחקני כדורגל: 19 186 180 175 גובה (ס"מ) 165 1 6 5 מספר שחקנים (שכיחות) יש לזכור שהחציון אינו שווה לחציון הערכים (אשר בדוגמה הנ"ל שווה ל- 180 ס"מ), אלא יש לקחת בחשבון את שכיחות הופעתו של כל נתון, ולמצוא את הנתון המרכזי. דוגמה לנ"ל: 165, 165, 165, 165, 165, 175, 175, 175, 175, 175, 175, 180, 180, 180, 186, 19 החציון הוא 175 (ולא 180!) דוגמה דיאגרמת העמודות מתארת את התפלגות הציונים במתמטיקה שקיבלו תלמידי תיכון "העתיד": 76

נמצא את המספר הכולל של כל הציונים השווה למספר התלמידים: = 50 +5+6+6+8+9+7+4+. המספר הוא אי-זוגי. הציונים כבר מסודרים בסדר עולה. במקומות 5 ו- 6 נמצא הציון 80, לכן זה החציון של הסדרה. בדומה לכך מוצאים את הערכים המרכזיים של סדרת הנתונים, כאשר נתונה שכיחות יחסית: דוגמה 4 חברת הבנייה "חדרים" בנתה שכונה, שבה היו דירות בנות 4.5,,, ו- 5 חדרים. דיאגרמת עיגול מתארת את התפלגות הדירות בשכונה: א) מה מספר החדרים השכיח בשכונה? ב) מה החציון של מספר החדרים? ג) מה הממוצע של מספר החדרים? א. הנתון השכיח הוא הנתון בעל שכיחות הגבוהה ביותר בין כל הנתונים. תשובה: שלושה חדרים. ב. מהדיאגרמה רואים שהערך המרכזי (החוצה את העיגול לשניים) עובר בתחום של ארבעה חדרים. תשובה: ארבעה חדרים. 77

ג. לחישוב הממוצע נשתמש בנוסחה :() X = *0.15+*0.+4*0.5+5*0. =.6 תשובה: הממוצע של מספר החדרים שווה ל-.6. תרגילים 1. מ צאו את החציון בכל סדרת הנתונים: 0,, 5, 7, 11, 1, 14, 8, 9, 11, 0 5, 7, 11, 18, 19, 7, 8, 14, 10, 1, 17, 0, 0, 5 8,, 5, 5, 7, 7, 6, 6, 6, 6,, 0 א. ב. ג. ד. ה. בכל סדרת הנתונים מ צאו את השכיח, הממוצע והחציון:. -, 1,,,,, 4, 5, 5, 5 1,, 4,,, 5, 5,, 0,, 1,, 1,, 1,, 1, א. ב. ג. ד.,, 1, 1,,,, לפניכם רשימת הציונים של תשעה תלמידים בכיתה י' במקצועות המתמטיקה והאנגלית:. 40, 60, 60, 70, 70, 70, 80, 80, 100 40, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 100 מתמטיקה: אנגלית: מצאו את חציון הציונים בכל מקצוע. 4. בתחרות קליעה למטרה הושגו התוצאות הבאות: 100 99 98 97 96 95 94 מספר 9 הפגיעות 1 1 1 0 8 השכיחות 5 באחוזים א. ב. מה שכיחות הנתונים? מה הממוצע של מספר הפגיעות? 78

5. הגרף מתאר את שכיחות הערכים שאותם מקבל גודל אקראי x. השכיחות 0 18 16 א. מה השכיח של הנתונים? ב. מה הממוצע? 14 1 10 8 6 4-8 -6-4 - 4 6 8 10 - x גרף זה מתאר את שכיחות הערכים שאותם מקבל גודל אקראי x. א. מה השכיח של הנתונים? ב. מה הממוצע?.6 10 9 8 7 6 5 4 1 השכיחות 1-1 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 x 79

y 10 ציוני התלמידים מוצגים באמצעות דיאגרמת מקלות: א. מצאו את מספר התלמידים בכיתה. ב. מה השכיח של הציונים? ג. מה ממוצע הציונים? שכיחות 10.7 9 8 8 7 6 5 6 5 6 4 1 0 40 50 60 70 80 90 100 ציון x סטייה, שוֹנ ת,וּ סטיית תקן 4 סטייה ישנם מקרים שלשתי סדרות של נתונים תחום (ההפרש בין האיבר הגדול ביותר לקטן ביותר) זהה וערכי ממוצע שווים, ויחד עם זאת ערכי האיברים מפוזרים סביב x 1 = -4, -1,,, 4, 7, 10-4 + (-1) + + + 4 + 7 + 10 7 הממוצע א הממוצע בצורה שונה. נתבונן לדוגמה, בשתי סדרות הנתונים: סדרה א: הממוצע : = -6-5 -4 - - -1 0 x = 1 4 5 6 7 8 9 10 11-4, 1,.5,,.5, 5, 10-4 + 1 +.5 + +.5 + 5 + 10 7 x סדרה ב: 80 הממוצע : =

ה ממוצע ב -4 - - -1 0 1 4 5 6 7 8 9 10 11 x רואים שאיברי הסדרה ב' "מקובצים" צפוף יותר סביב הממוצע, מאשר איברי הסדרה א'. במילים אחרות, פיזור האיברים בסדרה א' סביב הממוצע הוא גדול יותר מאשר פיזור האיברים בסדרה ב'. הגודל שמאפיין את מידת הפיזור של כל איבר מכונה סטייה: i x i עבור כל איבר שמספרו הסידורי i, ה, סטייה לבין הערך הממוצע של הסדרה:. à i = x i - x עבור איברי הסדרה א' נקבל: שווה להפרש בין ערך האיבר 1 = -4 - = -7, = -1 - = -4, = - = -1, 4 = - = 0, 5 = 4 - = 1, 6 = 7 - = 4, 7 = 10 - = 7. נחשב את סכום כל הסטיות: Σ i = 1 + + + 4 + 5 + 6 + 7 = = -7 + (-4) + (-1) + 0 + 1 + 4 + 7 = 0 מהחישוב רואים, שסטייה יכולה להיות הן חיובית והן שלילית, אולם אפשר להוכיח שסכום כל הסטיות שווה לאפס בכל סדרת נתונים, לכן גם הסטייה הממוצעת תמיד שווה לאפס.. עבור כל איבר, הסטייה שווה למרחק האיבר מהערך הממוצע, הסטיות עבור האיברים הנמצאים משני צדי הממוצע הם מנוגדים, הכוללת מתאפסת. אולם סימני לכן הסטייה נבדוק מסקנה זו עבור סדרת נתונים נוספת שאינה סימטרית יחסית לממוצע: x = -4, -.5, -, -1, 0.5, 7, 9-4 + (-.5) + (-) + (-1) + 0.5 + 7 + 9 7 81 Ó 0.71 סדרה ג: הממוצע:

-5-4 - - -1-1 1 4 5 6 7 8 9 x נחשב את הסטיות: 1 = -4-0.71 = -4.71, = -.5-0.71 = -4.1, = - - 0.71 = -.71 4 = -1-0.71 = -1.71, 5 = 0.5-0.71 = -0.1, 6 = 7-0.71 = 6.9, 7 = 9-0.71 = 8.9. גם במקרה זה סכום כל הסטיות שווה לאפס. הממוצע החציון 0 חציון הנתונים של סדרה ג' הוא האיבר הרביעי השווה ל- 1-, ולהבדיל מסדרות א' ו-ב', שהן סימטריות יחסית לממוצע, הוא אינו שווה לערך הממוצע. מושג הסטייה המוחלטת, שוֹנוּת וסטיית תקן הסטייה מאפשר לתאר את פיזור הנתונים סביב הממוצע, אולם סדרת הסטיות עבור איברי הסדרה אינה פשוטה יותר מסדרת הנתונים עצמם. היה רצוי, בדומה למושג הממוצע, לאפיין את פיזור הנתונים באמצעות מספר אחד בלבד. אחד משני המושגים מסוג זה שנלמד הוא הסטייה המוחלטת. ראינו בדוגמאות הקודמות, שבכל סדרת נתונים הסטייה הממוצעת מתאפסת, מכיוון שלסטיות מימינו ומשמאלו של הממוצע סימנים מנוגדים. אם נגדיר את הסטייה הממוצעת כממוצע הערכים המוחלטים של כל הסטיות, נקבל ערך חיובי: à 1 + à +... + à n d = n מספר זה מכונה סטייה מוחלטת ממוצעת של סדרת הנתונים. -4, -1,,, 4, 7, 10 לדוגמה, עבור סדרה א': נקבל: x=, d= -4- + -1- + - + - + 4- + 7- + 10- = 4 7 7 ועבור סדרה ב': -4, 1,.5,,.5, 5, 10 נקבל: x =, d = -4- + 1- +.5- + - +.5- + 5- + 10-7 8 = 19 7

רואים, שבסדרה ב', שבה הנתונים "מקובצים" יותר סביב הממוצע, המוחלטת הממוצעת קטנה יותר מסדרה א', שבה הנתונים מפוזרים יותר. הסטייה המושג השני שמאפיין את פיזור הנתונים הינו שוֹנוּת והקשורה אליו סטיית תקן. מושגים אלה מתארים טוב יותר מהסטייה המוחלטת את התהליכים האקראיים המתרחשים במציאות, כאשר בתהליך מעורבים מאורעות אקראיים רבים. לדוגמה: מודדים גובה של תלמידים בכיתה מסוימת. תוצאות המדידות תלויות ב"גובה אמיתי" של התלמיד או התלמידה (התלוי באופן אקראי בגורמים שונים: גיל, ארץ הולדת, נתוני ההורים, רמת החיים, הרגלי אכילה ועוד), וגם בשיטת המדידה ובדיוק מכשיר המדידה. פיזור הנתונים המתקבלים בסדרת מדידות מסוג זה מכונה התפלגות נורמלית, והמספר המאפיין את הפיזור בצורה הנוחה ביותר לצורך עיבוד הנתונים מכונה שונוּת D (שם המושג באנגלית:.(Dispersion השוֹנוּת היא הממוצע של ריבועי הסטיות: (1) D = à 1 + à +... + àn n = ( x 1 - x) + (x - x) +... + (x n - x) n לדוגמה, עבור סדרה א': -4, -1,,, 4, 7, 10 נקבל: x =, D = (-4-) +(-1-) +(-) +(-) +(4-) +(7-) +(10-) = 18.86 7 ועבור סדרה ב': -4, 1,.5,,.5, 5, 10 נקבל: x =, D = (-4-) +(1-) +(.5-) +(-) +(.5-) +(5-) +(10-) 7 = 15.1 סטיית תקן מן הממוצע היא השורש הריבועי של השונוּת: () s = D, s = D או בצורה המפורטת: () s = (x 1 - x) + (x - x) +... + (x n - x) n 8

ב( הערה: בדרך כלל, לצורך חישוב של סטיית תקן, משתמשים בנוסחאות (), כלומר, מחשבים את השונות D ולאחר מכן את- s. לדוגמה, עבור סדרה א': -1,,, 4, 7, 10-4, נקבל: D = 18.86, s = 18.86 = 4.4 ועבור סדרה ב': -4, 1,.5,,.5, 5, 10 נקבל: D =15.1, s = 15.1 =.9 תכונות של סטיית תקן א) אם נוסיף לכל איבר מספר כלשהו, סטיית התקן לא תשתנה. תכונה זאת נובעת מהנוסחה לחישוב של סטיית התקן () ומתכונות הממוצע (ראו 49 :(( אם נוסיף (או נחסיר) לכל איבר מספר כלשהו, ערך הממוצע יגדל באותו המספר; כלומר, בנוסחה () הממוצע x בכל סוגריים יהפוך ל-, x + à כאשר à הוא המספר שהתווסף לכל איבר: + i.x i x לכן ערכי כל הסוגריים לא ישתנו, וגם לא סטיית התקן. לדוגמה, נתבונן בסדרת נתונים חדשה, שנוצרה מהסדרה ב' על-ידי הוספת 10 לכל איבר: סדרה ד': -4+10, 1+10,.5+10, +10,.5+10, 5+10, 10+10 נחשב את איבריה של סדרה ד' ונציג אותם על ציר מספרים: 6, 11, 1.5, 1, 1.5, 15, 0 84

נחשב את הממוצע ואת סטיית התקן: x = 6+11+1.5+1+1.5+15+0 = 1 7 (6-1) +(11-1) +(1.5-1) +(1-1) +(1.5-1) +(15-1) +(0-1) = 15.1 7 D =15.1, s = 15.1 =.9 רואים שפיזור הנתונים סביב הממוצע לא השתנה, וגם לא השתנתה סטיית התקן. ב) אם נחסיר מכל איבר מספר כלשהו, ההוכחה נובעת מאותה תכונה של הממוצע. סטיית התקן לא תשתנה. ג) אם נכפיל (נחלק) כל איבר באותו מספר חיובי, שאינו שווה לאפס, ערכה של סטיית התקן תוכפל (תחולק) באותו מספר. נשתמש בתכונה של הממוצע: אם נכפיל כל איבר באותו מספר חיובי a, שאינו שווה לאפס, ערכו של הממוצע יוכפל באותו מספר: x 1 = a*x 1 +a*x +...+a*x n = a* (x 1 +x +...+x n ) = a*x n n לכן, בנוסחה של השונוּת D, כל מחובר במונה יוכפל ב- a: השונות D תהפוך ל- s a s :a וסטיית התקן תגדל פי-, D a D (x 1 - x) ê (a*x 1 - a*x) = a *(x 1 - x) ד) סטיית תקן מבוטאת באותן היחידות שבהן מוצגים הנתונים עצמם משוֹנוּת, אשר מבוטאת בריבוע של היחידות שבהן מוצגים הנתונים). דרך אחרת לחישוב השונות וסטיית התקן נתונה סדרת נתונים: x 1, x, x,, x n נחשב את הממוצע של איברי הסדרה: (להבדיל x = x 1 + x +... + x n n 85

(4) (5) נעלה בריבוע את כל איברי הסדרה..x 1, x, x נקבל את סדרת הנתונים:, x n, נחשב את הממוצע של סדרת הריבועים: אפשר להוכיח שהשונוּת D של הסדרה () שווה ל- כלומר: השוֹנוּת של סדרת נתונים שווה להפרש בין ממוצע ריבועי האיברים לבין ריבוע הממוצע של איברי הסדרה. את סטיית התקן מחשבים על-פי הנוסחה (): D. s = שימוש בנוסחה (5) הוא במקרים רבים קל יותר מאשר השימוש בהגדרת השונות (הנוסחה (1)). הערה כדי לחשב את הממוצע של ריבועי הנתונים כאשר הנתונים הם בעלי x שכיחות שאינה שווה ל- 1, נוסחה (4) הופכת לנוסחה כללית יותר: (6) s 1 = m 1 כאשר N, s = m N,..., s n = m n N הם ערכי השכיחות היחסית (או שכיחות יחסית באחוזים). דוגמה 1 נתונה סדרת נתונים (סדרה א'): -1,,, 4, 7, 10-4,. מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן. x = -4-1+++4+7+10 = א) נחשב את הממוצע: 7 ב) נרשום את סדרת הריבועים: 16, 1, 4, 9, 16, 49, 100 D = 7.86-9 = 18.86 ג) נחשב את ממוצע הריבועים: ד) נחשב את השונות: s = 18.86 = 4.4 ה) נחשב את סטיית התקן: 86

דוגמה נתונה סדרת נתונים בעלי שכיחות שונה: 6 7 הנתון 8 4 x השכיחות 4 8*4+7*x+6*4 4+x+4 א) ב) מצאו את ממוצע הנתונים. נתון: סטיית התקן מן הממוצע היא = s. מצאו את. x נשתמש בהגדרת הממוצע (1, נוסחה ()): = x= 8*4+7*x+6*4 4+x+4 (8+6)*4 + 7x 8+x = 14*4+7x 8+x א) נפתח את הביטוי: 7(*4 + x) = = 7 8+x תשובה: = 7 x ב) אם ידועה סטיית התקן s, אפשר לחשב את השוֹנוּת ) D); = s אם ידועים D ו-, x אפשר באמצעות נוסחה (5) לחשב את ממוצע הריבועים: כעת נבטא את ממוצע הריבועים באמצעות נוסחה (6): x = 10 נשווה את שני הביטויים ונמצא את x: 4*100+49*x = 4+9*49, 400+49*x, 8+x 9 = 445 8+x 9 600 + 441x - 560-445x = 0, 87

תרגילים מ צאו את הממוצע, השונות וסטיית התקן בסדרות הנתונים שלפניכם בשתי דרכים שונות והשווּ את התוצאות: א) ג) 1,,, 4, 5 ב) 0,, 4, 6 -, -1, 0, 1,, 6 ד) 1,,, 4, 5, 6, 7 להלן נתוני גובה (בס"מ) של שחקני קבוצת כדורגל מנבחרת שכבת י': 168, 16, 17, 165, 180, 17, 164, 181, 17, 167, 165 מצאו את הגובה הממוצע ואת סטיית התקן מהממוצע. הדרכה: השתמשו בתכונה ב' והחסירו תחילה מכל נתון את הנתון המינמלי, כך הסדרה והחישובים יהפכו לפשוטים יותר. בטבלה נתונות השכיחויות של כמות הגשם שירד בחודש דצמבר במקום מסוים: כמות הגשם (מ"מ) השכיחות (מספר היממות) 6 1 5 4 8 8 6 1 4 0 1 מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן. בתחרות ריצה ל- 100 מ' באולימפיאדה הושגו התוצאות האלה:.1...4 11.99 1 9.98 5 9.88 9.80 4 9.79 9.75 1 9.6 1 זמן (שניות) השכיחות (מספר המתחרים) 9 7 מצאו את זמן הריצה הממוצע ואת סטיית התקן. בסדרת הנתונים x,, 7 נתונה השונות: = 8 D. מצאו את x. לפניכם ההתפלגות של יבול עגבניות (בטונות), במספר מסוים של חלקות שדה: ממוצע היבול לחלקה הוא 7 טון. יבול (טונות) 8 7 6 4 א) מצאו בכמה חלקות שדה יבול שכיחות 1 7 x 6 העגבניות היה שישה טון? ב) מהו חציון היבול? ג) מהי סטיית התקן של יבול העגבניות? 88.5.6

5 דוגמאות הבעיות המשולבות פתרונות מפורטים א. השפעת ההוספה או הוצאת נתון על הממוצע ראינו בסעיף 4 שאפשר לדמיין את הממוצע של מספר נתונים כנקודה על ציר a b c X מספרים שבה יש להציב תומך, על-מנת שמערכת המשקולות המוצבות בנקודות a המייצגות כל נתון תישאר בשווי משקל: a אם נוסיף לסדרה נתון d שנמצא מימינו b X d c של הממוצע (כלומר, ( d > X אז שווי b d c המשקל יופרע, וכדי להחזירו יש להזיז את התומך ימינה, כלומר, הממוצע החדש יהיה X גדול מהממוצע הקודם: d c אם הנתון החדש יהיה קטן מהממוצע, b כלומר, d < X,ה"נדנדה" תרד מצד שמאל, a X וכדי להחזיר את שווי המשקל יהיה צורך a d b c להזיז את התומך שמאלה, כלומר, הממוצע החדש יהיה קטן מהקודם: X d הוספה (או האצה) של נתון חדש לא תשנה את שווי המשקל רק אם הנתון a b c שהתווסף (או שהוצא) שווה לממוצע: X פועל חישב את ממוצע המשכורת שקיבל במשך 11 חודשי עבודה, דוגמה 1 ומצא שהממוצע הוא ל-. 6,00 לאחר שקיבל משכורת בחודש שלאחריו הוא חישב את הממוצע ב- 1 חודשי העבודה ומצא, שהוא לא השתנה. מה הייתה משכורתו בחודש האחרון? מכיוון שהוספת הנתון אינה משנה את הממוצע רק כאשר הנתון שווה לממוצע, נקבל מיד תשובה, ללא חישובים נוספים: תשובה: משכורת ה- 1 שווה לממוצע הקודם, כלומר,. 6,00 89

דוגמה ציוני התלמידים במבחן היו 75 65, ו- 90 בלבד. חמישה תלמידים קיבלו את הציון 65, שמונה קיבלו 75 ו- חמישה קיבלו 90. חמישה תלמידים שלא עשו מבחן בזמן, נבחנו במועד מיוחד, וכל אחד מהם קיבל ציון 80. המורה צירפה את הציונים אלה לציוני כל התלמידים וחישבה את ממוצע הציונים החדש. א. ב. א. האם הממוצע החדש גדול, קטן או שווה לממוצע הקודם? מה הייתה התשובה אילו התלמידים האחרונים היו מקבלים ציון 75? נחשב את ממוצע הציונים של התלמידים שנבחנו בזמן: X = 5*65+8*75+5*90 =76.9 18 מכיוון שהוספת הנתון הגדול מהממוצע מגדילה את הממוצע, שהממוצע החדש יהיה גדול מקודמו. ב. מסיקים הוספת הנתון הקטן מהממוצע מקטינה את הממוצע, לכן צירוף התלמידים עם הציון 75 יקטין את הממוצע. כפי שראינו בסעיף 4 ד', אם לחלק את כל נתונים לקבוצות שוות בגודלן, ולחשב ממוצע בכל קבוצה, אז הממוצע של כל הנתונים שווה לממוצע של ממוצעי כל הקבוצות. שימו לב: זה לא מתקיים אם הקבוצות אינן שוות בגודלן! דוגמה בכיתה 16 בנות ו- 1 בנים. ממוצע הגבהים של הבנות הוא 159 ס"מ, וממוצע גובה הבנים הוא 164 ס"מ. לכיתה הצטרפה תלמידה אחת ותלמיד אחד, אולם הגובה הממוצע החדש של הבנות וגם של הבנים לא השתנה. א. ב. מה גובה התלמידים החדשים? האם השתנה הגובה הממוצע של כל תלמידי הכיתה? א. מכיוון שהגובה הממוצע של הבנות ושל הבנים לא השתנה, מסיקים שהגבהים של התלמידים החדשים שווה לגובה הממוצע, כלומר: תשובה: גובה התלמידה - 159 ס"מ, גובה התלמיד - 164 ס"מ. 90

ב. מכיוון שמספרי התלמידים והתלמידות שונים, העובדה שהממוצעים בכל קבוצה לא השתנו אינה מבטיחה שגודל הממוצע הכללי לא ישתנה. 159*16 + 164*1 נבדוק זאת. הממוצע הקודם: = 161.14 = X 16 + 1 159*17 + 164*1 X = = 161.17 הממוצע החדש: 17 + 1 תשובה: ממוצע הגבהים הכללי השתנה. ב. השפעת ההוספה או הוצאת נתון על החציון החציון הוא הנתון המרכזי בסדרת נתונים שמספרם אי-זוגי, או ממוצע שני הנתונים האמצעיים כאשר מספר הנתונים הוא זוגי. הוספה או הוצאה של נתון אחד משנה את מספר הנתונים מזוגי ל- אי-זוגי ולהיפך. בחלק מהמקרים הוספת נתון חדש תשנה את החציון, ואולם לפעמים, כאשר במרכז הסדרה נמצאים איברים שווים, החציון לא ישתנה. דוגמאות א. נתונה סדרת נתונים: 1,, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 1, 14 בסדרה 11 איברים, המרכזי (7) הוא החציון. לסדרה הוסיפו עוד נתון :(15) 15 1,, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 1, 14, החציון החדש שווה לממוצע של 7 ו- 8, כלומר, 7.5. ב. נתונה סדרה אחרת: 1,, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 14 החציון: 7. מוסיפים נתון נוסף :(15) 15 1,, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 14, החציון החדש שווה לממוצע של 7 ו- 7, כלומר, 7. כאשר מתווספים לסדרה שני נתונים חדשים (או מספר זוגי אחר של נתונים), הזוגיות של סדרת הנתונים לא תשתנה, כמו גם שיטת החישוב של החציון. דוגמה 4 במסיבה נמצאים: ילד בן שש, הורי הילד בני 5, אחיו של הילד בן שמונה ואחותו בת ה- ארבע. מאוחר יותר הצטרפו לאורחים סבא וסבתא של הילד, בני 60. האם השתנה חציון הגילים של כל הנוכחים במסיבה? 91

נסדר את ערכי הגיל לפני הגעתם של הסבים ואחרי הגעתם בסדר עולה. נחלק את הסדרות לשני חצאים ונסמן את החציון: 4, 6, 8, 5, 5 א) 4, 6, 8, 5, 5, 60, 60 ב) תשובה: החציון השתנה מ- 8 ל- 5. ג. השפעת ההוספהשל נתון על סטיית תקן על-פי הגדרת סטיית תקן עבור סדרה של n נתונים x 1, x,, x n (ראו סעיף,(6 אפשר לרשום: s = ( x 1 - x) + (x - x) +... + (x n - x) n כאשר s היא סטיית תקן ו- x הוא ממוצע של n איברי הסדרה. אם נוסיף עוד איבר,,x n+1 ישתנה הממוצע x (אלא אם הנתון הנוסף שווה לממוצע), ישתנה המכנה (במקום n יהיה 1+n), ויתווסף עוד מחובר במונה: ( 1) s = ( x 1 - x) + (x - x) +... + (x n - x) + (x n+1 - x) n + 1 בדרך כלל, אי-אפשר לקבוע אם סטיית התקן החדשה תהיה קטנה, גדולה או שווה לסטיית התקן הקודמת, מכיוון שהיא תלויה הן בגודל האיבר החדש והן בכל איברי הסדרה ובמספרם. ניזכר כי סטיית תקן מאפיינת את פיזור הנתונים סביב הממוצע. לכן, אם הנתון החדש נמצא קרוב לממוצע, פיזור, ויחד איתן סטיית התקן יהיו קטנים יותר, ואם הנתון החדש יהיה רחוק מהממוצע - סטיית התקן תגדל. אם הנתון הנוסף שווה לממוצע, אז: א. ב. ג. הממוצע לא ישתנה (על-פי תכונות הממוצע); המחובר האחרון במונה של השבר (1) ישתווה לאפס; כל המחוברים האחרים לא ישתנו; לכן המונה של השבר לא ישתנה, ומכנהו יגדל מ- n ל- 1+n, וכל השבר יקטן. כלומר: כאשר הנתון הנוסף שווה לממוצע, סטיית התקן ק ט נה. 9

.4, 8 דוגמה 5 נתונה סדרת הנתונים: א. ב. ג. מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן של הסדרה. לסדרה הוסיפו איבר נוסף: 6. כיצד ישתנו הממוצע וסטיית התקן? מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן לסדרות שתיווצרנה מסדרה זו על-ידי :6 x = 4 + 8 הוספות חוזרות של המספר 6: 4, 6, 6, 8 4, 6, 6, 6, 8..1.. ד. לסדרה הוסיפו עוד 18 איברים שגודלו של כל אחד הוא 4, 6, 6,, 6, 8 0 מה תהיה סטיית התקן של הסדרה החדשה? = 6, s = (4-6) +(8-6) = 4, s = א. ב. מכיוון שמוסיפים נתון השווה לממוצע, הממוצע לא ישתנה, והשוֹנוּת החדשה (ריבוע של סטיית תקן) תהיה: s = (4-6) +(8-6) +(6-6) = 8, s = 8 = 1.6 < ד. אם מוסיפים 6 פעמיים, אז הממוצע שוב לא ישתנה, ולגבי סטיית התקן נקבל: s = (4-6) +(8-6) 4 = 8 4 =, s = 8 אם נוסיף 6 עוד 18 פעמים = 1.41 = 4 נקבל: (כך שמספר כל איברי הסדרה יהיה שווה ל- = 0 n), x = 6, s = (4-6) +(8-6) 0 וסטיית התקן הפכה לקטנה פי יותר מ- : 0.6 =.17 9 כלומר : ממוצע הסדרה לא השתנה, = 0.6 0.4 = s 0.4, = 0 = 8

אפשר להמחיש את התוצאה באמצעות גרף המראה כיצד האיברים "מצטופפים" יותר ויותר סביב הממוצע, דבר הגורם להפחתה של סטיית התקן ("רוחב" של הגרף): בגרף, האיברים 4 ו- 8 מסומנים על-ידי הנקודה ) ( והמספר 6 שמתווסף - על-ידי הריבוע ) ). דוגמה 6 שישה תלמידים נבחנו במבחן בלשון בשני מועדים. כמות השגיאות שנעשו על-ידם במועד א' רשומות בטבלה: התלמידים משה טל בר מור רחל דנה ב. ג. א. ב. ג. ד. ה. כמות שגיאות 1 10 7 7 6 4 שרטטו את דיאגרמת העמודות המתארת את ההתפלגות של מספרי שגיאות. מה מספר השגיאות השכיח? מה החציון של מספרי שגיאות? מה הממוצע של מספרי שגיאות? מה השונות וסטיית התקן של הנתונים? א. דיאגרמת העמודות מתוארת בגרף שלפניכם: המספר השכיח הוא (!1 (לא 7 שהוא מופיע הכי הרבה פעמים (). יש סך הכול שישה נתונים: מספר האיברים 4, 6, 7, 7, 10, 1 בסדרה האמצעיים, כלומר, 7. הוא זוגי, מכיוון לכן החציון שווה לממוצע של האיברים 94

ד. חישוב הממוצע: x = 4+6+*7+10+1 = 6 = 7.67 ה. חישוב השוֹנוּת וסטיית התקן: D = (4-7.67) +(6-7.67) +*(7-7.67) +(10-7.67) +(1-7.67) = 6.89 6 s = D = 6.89 =.6 במועד ב' ו. תלמיד פחתה ב-. כל התלמידים שיפרו את תוצאותיהם, מה הממוצע החדש של מספר השגיאות? כך שכמות השגיאות אצל כל מה סטיית התקן החדשה? אין צורך לחשב ממוצע מחדש! על-פי תכונות הממוצע (סעיף 4 ב'), אם מוסיפים (או מחסירים) לכל נתון אותו מספר, הממוצע גדל (או קטן) באותו מספר. במקרה שלנו הממוצע החדש יהיה שווה ל- אין צורך לחשב גם את סטיית התקן החדשה! על-פי סעיף א' בתכונות של סטיית תקן, מחסירים מכל נתון מספר זהה. הערה:. x = 7.67 - = 4.67 היא לא משתנה אם מוסיפים או ההשוואה של דיאגרמות העמודות המתארות את התפלגות מספרי השגיאות בשני המועדים מוכיחה, כי מלבד הזזת הגרפים שמאלה הממוצע), "התקבצות" הנתונים סביב המרכז לא השתנתה. (שינוי של 95

תרגילים 1. בטבלה נתונה שכיחות יחסית של מספר הילדים במשפחה מעיר מסוימת: 4 מספר ילדים 1 15 40 y x שכיחות יחסית (%) מצאו את x ו- y, אם ידוע כי ממוצע מספר הילדים למשפחה הוא.6. בטבלה רשומה התפלגות המשפחות לפי מספר בני משפחה בקיבוץ מסוים, מתגוררות סך הכל 50 משפחות. א. שרטטו את דיאגרמת העמודות של ערכי השכיחות. ב. מה המספר השכיח של בני משפחה? ג. מה החציון של הנתונים? ד. מה הממוצע? ה. מה סטיית התקן מן הממוצע? שבו. 8 7 6 5 4 מס' בני משפחה 1 5 7 1 9 6 6 מספר המשפחות בטבלה רשומה התפלגות גיל הסטודנטים שהתקבלו לפקולטה למדעי מחשב ומתמטיקה באוניברסיטה מסוימת:. 0-7 - 0 7-4 1-4 קבוצת גיל 18-1 5 15 40 0 10 השכיחות (%) שרטטו את ההיסטוגרם המתאר התפלגות זו. א. מ צאו את הגיל הממוצע ואת סטיית התקן ממנו. ב. הערה: התייחסו לאמצע של כל קבוצה כמאפיין הגיל. בטבלה מוצגת התפלגות ציוני מבחן במתמטיקה בכיתה מסוימת, באמצעות תחום הציונים ושכיחות יחסית (באחוזים):.4 96

100 86-95 76-85 66-75 56-65 תחום ציונים 46-55 5 10 5 0 0 10 השכיחות (%) א. ב. ג. מהו הציון הממוצע? מהו החציון הציונים? מהי סטיית התקן מהממוצע? תשובות 9 ד) 5 ג).14 ב) -5 א).1 ב) /10 הדרכה: היעזרו בנוסחה (1) (עמ' 66). תשובה: א) 15/7. 7 ג'/סמ"ק. החלק עשוי מברזל.. 1.5 שנים..4 10 ס"מ.5 0 הדרכה: כדי להקל על החשבון, החסירו תחילה מכל האיברים 60. 1. תשובה: 66 1,555,555. הדרכה: היעזרו בנוסחה (1) (עמ' 65). תשובה: 167.8 ס"מ. 88.75.4 154. ס"מ.5 י' 4 י' י' י' 1 כיתה.6 67.6 69.4 65.7 ציון ממוצע 68.6 הדרכה: ח שבו, איזה מספר צריך להוסיף או להחסיר כדי להקל על החישוב. תשובה: א) 15 ב) 1.54 ג) 1716 ד) 559 מתמטיקה: 70 אנגלית: 70.7.8 97

1.1 א) 7 ב) 9 ג) 14.5 ד) 14 ה) 6. א) השכיח: הממוצע: החציון: ב) השכיח: הממוצע:.8 החציון: ג) השכיח: 5 הממוצע: 1.56 החציון: ד) השכיח:, הממוצע:.1 החציון:. מתמטיקה: 70 אנגלית: 70 4. הממוצע הדרכה: השתמשו בנוסחה () (ראו עמ' 67) : X = x 1 *s 1 + x *s +... + x n *s n s 1, s,, s n הינם ערכים של שכיחות יחסית (כשבר או אחוזים). הממוצע: 0.74 95.14 95 כאשר תשובה: השכיח: השכיח: - הערה: שימו לב! נתונים בגרף ערכי השכיחות ולא שכיחות יחסית באחוזים! השכיח: 9 הממוצע: 0.74 7. א) רמז: לכמה תלמידים יש ציון 60? תשובה: 40. 60 ג) 68 x =, D =, s = = 1.414 x =, D = 5, s = 5=.4 x = 1, D = 6.67, s = 6.67 =.58 x = 4, D = 4, s = החסירו מכל מספר את 16, מ צאו את הממוצע ולבסוף הוסיפו 16 X = 5+9+0++17+9+1+18+10+4+ 11 ב) א) ב).5.6 ג) ד ( פתרון. לתוצאה. תשובה: = 7, 7+16 = 170, x = 170 98.1.

חישוב של סטיית התקן: אם מחסירים מכל איברי הסדרה אותו מספר. הסדרה על-פי תכונה ב' (עמ' 85), סטיית התקן לא משתנה לכן אפשר לחשב אותה עבור 5, 0, 9,, 17, 9, 1, 18, 10, 4, D = 4+49+4+5+100+4+6+11+9+9+5 11 s = 5.1= 5.9 התוצאה: = 86 11 Ó 5.1 x= 1*4+*6+*8+4*8+5*+6*1 1 0, 1, 4, 9, 16, 5, 6. חישוב הממוצע: = חישוב של סטיית תקן. סדרת הריבועיים: ממוצע הריבועים (עפ"י נוסחה (6)): x = 0*1+1*4+4*6+9*8+16*8+5*+6*1 = 9 1 1 = 10.94 חישוב השונות (עפ"י נוסחה (5)) וסטיית התקן (עפ"י נוסחה ()): D =10.94- = 1.94, s = D = 1.94= 1.9 Ó 1.4 (mm) x = 9.6*1+9.75*1+9.79*+9.8*4+9.88*+9.98*5+11.99*1 17 = 9.98 (sec).4 D= (9.6-9.98) *1+(9.75-9.98) *1+(9.79-9.98) *+(9.8-9.98) *4+(9.88-9.98) *+(9.98-9.98) *5+(11.99-9.98) *1 =0.6 17 X = x++7 s = D= 0.6= 0.51 (sec) ג. הדרכה: א. רושמים את הממוצע: 9+x = ב. רושמים את השונות (עפ"י הנוסחה (5)): D = x + 4 + 49 - ( x+9 ) = 8 = 6 פותרים משוואה ריבועית: = 9.x 1 = 0, x X = 4*6+6*x+7*7+8*1+9*7 6+x+7+1+7. 7 הדרכה. א) רושמים את הביטוי לממוצע: = 7 מפשטים ופותרים את המשוואה: = 8 x..6 99

ב) מוצאים את מספר כל החלקות: = 40 7+1+7+8+6 = N, החלקות המרכזיות: מס' 0 ו- 1. מהטבלה רואים שהן שייכות לקבוצה של שבעה טון. ג) חישוב ממוצע הריבועים, שונות וסטיית תקן: x = 16*6+6*8+49*7+64*1+81*7 = 51.55 6+8+7+1+7 D = 51.55-7 =.55, s = D=.55= 1.6 1. רמז: סכום כל הערכים של שכיחות יחסית שווה ל-...? הדרכה: כאשר נתונים ערכי שכיחות יחסית, מחשבים את הממוצע על-פי נוסחה X = x 1 *s 1 + x *s +... + x n *s n (עמ' 67 ): () רושמים את הנתונים: = 1 0.01x 0.15 + 0.4 + 0.01y + 1 0.01x + 0.01y + 0.4 + 4 0.15 =.6 (חילקנו את ערכי השכיחות ב- 100, מכיוון שהם נתונים באחוזים) y y 1 10 9 7 6 6 5 5 x 0 1 4 5 6 7 8 x פותרים את מערכת המשוואות: = 5 y x = 10,. ב) השכיח: 5 ג) החציון: 5 ד) =4.58 1*+*6+*6+4*9+5*1+6*7+7*5+8* = X 50 ה) = 1.81 s D =.8,. X = 19.5*10+.5*0+40*5.5+8.5*15+1.5*5 =4.75 100 D = 8.89 S =.98 א. = 71 x ב. הדרכה: החציון נמצא בקבוצת הציונים 75-66, לכן הוא שווה ל- 70..4 00

6 התפלגות נורמלית במקרים רבים בחיי היום-יום, גודל אקראי, שמאפיין תהליך מסוים, מקבל את רוב הערכים הקרובים לאיזה ערך מרכזי שהוא, ולעתים נדירות ערכים הרחוקים ממנו. לדוגמה: מדדו את גובה תלמידי שכבת י' שכיחות בבית ספר מסוים. רוב המדידות בקרב 10 תלמידי השכבה היו סביב 168 ורק ס"מ, בודדים היו מעל 180 או מתחת ל- 155 ס"מ. גם מדידות משקל התלמידים, או מידת הנעליים מראות התפלגות דומה של נתונים. 155160 165 170 175 180 185 x, cm ההתפלגות של משתנה אקראי מסוג זה מכונה התפלגות נורמלית. הערה: לא כל הגדלים האקראיים מתנהלים כך: למשל, אם נמדוד או נעריך את משקל כל העצמים שסביבנו, מחיידקים עד לכוכבים רחוקים, נמצא שהוא יכול לקבל כל ערך שהוא, ממיליונית גרם עד למיליארדי מיליארדים של טון, ללא העדפה לערך מרכזי מסוים. 150 151 15 15 154 155 x, mm התפלגות נורמלית מופיעה בכל תהליכי מדידה, שבהם מעורבים גורמי שגיאה רבים. לדוגמה: עשרה תלמידים קיבלו משימה למדוד אורך של עיפרון בדיוק גבוה עד כמה שאפשר. הם קיבלו עיפרון ומדדו את אורכו עם הסרגלים הנמצאים ברשותם. התוצאות שהתלמידיםרשמוהיו: שכיחות 15.,150.9,151.,15.4,15.5,15.1,15.7,15.6,154.1,15.5 ס"מ. מדוע היו התוצאות שונות? התפלגות נורמלית 01

מכיוון ש: א. הסרגלים היו שונים; ב. התלמידים לא היו מיומנים באותה מידה; ג. תנא י התאורה היו שונים (חלק מהתלמידים ישבו ליד חלון וחלק רחוק ממנו). בכל התהליכים שבהם מעורבים גורמים אקראיים רבים מופיעה התפלגות נורמלית. תכונות הגרף של התפלגות נורמלית מהשוואת שני הגרפים שבעמוד הקודם אפשר להסיק שצורתם דומה: לעקומה המתארת את ההתפלגות הנורמלית צורה של פעמון. לעתים היא מכונה גם הדגול, פרידריך ק עקומת גאוס (או גאוסיאן) על שמו של המתמטיקאי רל גאוּס (-1777-1855), שתרם רבות לתורת ההסתברות. תכונות הגרף של התפלגות נורמלית: א. ב. ג. הגרף הוא סימטרי יחסית לערך המרכזי. הערך המרכזי הוא הנתון השכיח בין כל הנתונים. הערך המרכזי הוא הממוצע והחציון של כל הנתונים. כלומר, בהתפלגות נורמלית, השכיח שווה לממוצע ולחציון. מאפייני הגרף - הממוצע וסטיית התקן x, mm בניסוי מדידה שני קיבלו התלמידים משימה למדוד את אורך הספר. התוצאות שקיבלו היו מקובצות סביב מספר אחר - 50 מ"מ, אולם פיזור התוצאות, המתבטא ברוחב העקומה, היה דומה לזה שהתקבל במדידת אורך העיפרון: האופי של שגיאות המדידה לא השתנה, לכן רוחב העקומה, המתבטא בגודל של סטיית התקן s שכיחות s 48 49 50 51 5 x לא השתנה; השתנה רק המיקום של מרכז העקומה המתבטא בממוצע. x בניסוי שלישי, עשרה נגרים ותיקים התבקשו למדוד את אורך העיפרון. התוצאות שלהם היו כדלקמן: התפלגות נורמלית 0

15.1, 15.7, 15.5, 15.9, 151.8, 15., 15.4, 15.8, 15.7, 151.9 מהשוואת שני הגרפים, של התלמידים ושל הנגרים, רואים, שמרכזם מתלכד אולם רוחבם שונה: פיזור הנתונים של הנגרים היה קטן מזה של התלמידים. תלמידים שכיחות נגרים בניסוי אחר, קיבלו הנגרים את המשימה למדוד את אורך הספר; שני הגרפים שלפניכם מתארים 151 15 15 154 x, mm את התוצאות שקיבלו הנגרים: x מרכזי הגרפים ממוקמים במקומות שונים (השווים לממוצע של אורך העיפרון והספר, בהתאמה), ואילו רוחב העקומה שווה לשני הגרפים (מכיוון ששגיאות המדידה לאתלויות באורך הנמדד). לסיכום: א. ממוצע הנתונים קובע את מרכז הגרף, או במילים אחרות: שיעור מרכז הגרף שווה לממוצע הנתונים. ב. רוחב העקומה נקבע על-ידי סטיית התקן של כל הנתונים. התפלגות נורמלית 0

7 השטח הכלוא מתחת לעקומה של התפלגות נורמלית שיעור y של כל נקודה x על גרף ההתפלגות מבטא את השכיחות היחסית של הופעת הנתון x. אולם, שכיחות הופעת הנתון שערכו הוא בדיוק x שווה לאפס! הדוגמה שלהלן מוכיחה: אורך מלפפונים בזמן הקטיף נע בין ל- 5 ס "מ. מה השכיחות של הופעת מלפפון שאורכו 4 ס"מ בדיוק? מספר כל הערכים האפשריים של אורך מלפפון בגבולות שבין ל- 5 הוא אינסופי: הרי יכולים להיות ערכים כמו,4.001,4.0000005.999987500 ס"מ וכד', כלומר, יכול להופיע כל מספר רציונלי (מהסוג של שבר פשוט ( או אפילו 5 אי-רציונלי (כמו ). יש אינסוף מספרים כאלה בכל קטע של ציר מספרים. לכן השכיחות של הופעת נתון מסוים (נגיד, 4.00 ס"מ) שווה ל-.( 1 å = 0 ובכן, אין טעם בשאלה מה הסיכוי (ההסתברות) להופעת ערך מסוים מתוך אינסוף ערכים אפשריים של המשתנה בעל התפלגות נורמלית. יחד עם זאת ברור, שאם אורכי המלפפונים מתפלגים נורמלית סביב ממוצע של 4 ס"מ, הסיכוי שאורך המלפפון הנבחר באקראי יהיה גדול מ- 4 ס "מ (כלומר,.(0 < x < 4) יהיה שווה לסיכוי שאורכו יהיה קטן מ- 4 ס "מ (4 < x < כלומר, יש משמעות רק לשכיחות הופעת הנתון בתוך גבולות מסוימים, לדוגמה: שכיחות הופעת מלפפון שאורכו בין.8 ל- 4. ס"מ (4. < x <.8). התפלגות נורמלית 04

אפשר להוכיח ששכיחות הופעת המשתנה המפולג בין גבולות מסוימים לשטח שבין עקומת גרף ההתפלגות לבין ציר שווה x בגבולות אלה. כך, למשל, שכיחות הוצאת מלפפון שאורכו בין ל- 5 ס"מ מערימה גדולה של מלפפונים שווה לשטח S המסומן בגרף ההתפלגות של אורכי המלפפונים. מכיוון ששכיחות הוצאת מלפפון בכל אורך שהוא ( < x < 0) שווה ל- 1 (הרי בטוח שבכל מקרה נוציא איזה מלפפון שהוא!), אפשר להסיק, שהשטח מתחת לגרף בכל ציר המספרים שווה ל- 1. בהסתמך על מסקנה זו ועל תכונת הסימטריות של התפלגות נורמלית, אפשר להסביר את הגרף שבדף הקודם (שכיחות הוצאת מלפפון שאורכו בין 0 ל- 4 ס"מ שווה ל- :(0.5 ) < x P(0 < x < 4) = P(4 < (בגלל שהגרף הוא סימטרי), ו- = 1 ) < x,p(0 < x < 4) + P(4 < כאשר פירוש הביטוי (b P(a < x < הוא ההסתברות שהמשתנה האקראי x מקבל ערכים בתחום בין a ל- b. כדי לחשב את מספר המלפפונים N, שאורכם נמצאים בגבולות בין a ו- b, עלינו לדעת את כמות כל המלפפונים M ואת ההסתברות שאורכם יהיה בין הגבולות הנתונים: (1) N(a < x < b) = M P(a < x < b) נניח שידועה כמות כל המלפפונים: = 1000 M והגבולות =.5 a ו- = 4.5 b ס"מ. כיצד לחשב את ההסתברות 4.5) < x?p(.5 < התפלגות נורמלית 05

למדנו כבר שהסתברות זו שווה לשטח שמתחת לעקומת הגרף בקטע נתון. האם שטח זה תלוי במיקומו של הממוצע? מהשוואת שני הגרפים אפשר לראות שמכיוון שהגרף הוא סימטרי יחסית לממוצע, השטח הנדרש תלוי רק במרחק הגבולות מהמרכז: כלומר, בחישובי השטח, אפשר להחליף את המשתנה x למשתנה חדש x: 1 () x 1 = x - x ברור ש- = 0 1 x כאשר x שווה לממוצע. כמובן, לאחר שנמצא את הערכים של x, 1 נעבור חזרה למשתנה x: () x = x 1 + x אם נמצא שערכי- x 1 נמצאים בתחום [b,a], נוכל למצוא את ערכי- x המתאימים באמצעות (). דוגמה: לאחר סדרה בתחום האורך הממוצע של מלפפון שווה ל- של מדידות נמצא של- 90% ס 4 ±1 נרשום נתונים: נעבור מהמשתנה x: "מ. מהמלפפונים ערכי האורך נמצאים ס"מ סביב הממוצע. מה אורך המלפפונים מתחום זה? x = 4, a = -1, b = 1 a = -1: x = -1 + 4 = ; b = 1: x = 1 + 4 = 5 תשובה: ל- 90% מהמלפפונים האורך נמצא בתחום < 5 x < ס"מ. התפלגות נורמלית 06

מ ) החלפת המשתנה למשתנה סטנדרטי ברוב המדידות, סטיית התקן נמצאת ביחס ישר לגודל הממוצע: כשמודדים אורך של עיפרון, שגיאת המדידה היא ± 0.5 מ"מ, במדידת אורך של שולחן, השגיאה ± 0.5 היא ± 0.5 ס"מ, במדידת אורך של שדה כדורגל השגיאה היא מ'. אי-לכך, הגיוני למדוד את התפלגות הנתונים לא ביחידות המוחלטות ', ס"מ, ק"ג וכד') אלא ביחידות יחסיות של סטיית תקן. לדוגמה, נתון: האורך הממוצע של מלפפונים הוא 4 ס"מ, סטיית התקן היא 4 מ"מ. מה אחוז המלפפונים שאורכם נמצא בתחום בין.6 ל- 4.4 ס"מ? את אותה שאלה אפשר לנסח אחרת: מה אחוז המלפפונים שאורכם נמצא בתחום של שתי סטיות תקן סביב הממוצע? היתרון בניסוח השני הוא בכך, שהוא אינו תלוי בערך הממוצע ובערכה של סטיית תקן בנפרד, אלא ביחס שביניהם. כלומר, יחידות מידה של הנתונים הופכות מיחידות המוחלטות (מ', ס"מ וכד') ליחידות של סטיית תקן. שיטה זו מאפשרת לתאר תופעות שונות ולחשב מדדים סטטיסטיים עבורן בדרך דומה. כדי לעבור ליחידות של סטיית תקן, סטנדרטי: דוגמה 1 נגדיר משתנה חדש המכונה X, (4) משתנה ציוני הבחינה בבית-ספר מתפלגים נורמלית, כאשר הציון המוצע הוא 68 וסטיית התקן היא 10. השאלות הינן: X = x - x s א. מה אחוז התלמידים שציונם גבוה מ- 88? ב. מה אחוז התלמידים שציונם נמוך מ- 58? רשמו את נתוני השאלה באמצעות משתנה סטנדרטי. התפלגות נורמלית 07

השלב החשוב ביותר בפ תרון כל בעיה מילולית הוא רישום נתונים בשפה אלגברית..P( X < -1) בשאלה הנ"ל נתון: = 10 s. x = 68, ואת P(0 < x < 58) =?? = ) < x,p(88 < צ"ל: נעבור למשתנה הסטנדרטי: X = 10 נמצא את גבולות התחומים החדשים: x = 88: X = x - 68 88-68 = = 10 10 x = 58: X = x - 68 58-68 = = -1 10 10 לכן, במונחים של משתנה חדש, עלינו למצוא את ( < X )P < דוגמה ציוני הבחינה בבית-ספר מתפלגים נורמלית, כאשר הציון המוצע הוא 68 וסטיית התקן היא 8. בוחרים תלמיד באקראי. צ"ל: את ההסתברות שציונו יהיה בין 56 ל- 84. רשמו את נתוני השאלה באמצעות משתנה סטנדרטי. נרשום תחילה את הנתונים במונחים של ציונים: x = 68, s = 8, P(56 < x < 84) =? נעבור למשתנה הסטנדרטי: - 68 x. X = 8 נמצא את גבולות התחום החדשים: 56-68 x = 56: X = = - 1 8 8 = -1.5 84-68 x = 84: X = = 8 תשובה: צ"ל את ) < X P(-1.5 < התפלגות נורמלית 08

חישוב השטח הכלוא מתחת לגרף התפלגות נורמלית כאשר משתנה אקראי x מתפלג נורמלית סביב הממוצע x עם סטיית תקן s. המשתנה X, המבוטא ביחידות של סטיית תקן: X = x - x מתפלג גם הוא s נורמלית סביב הממוצע 0 וסטיית תקן 1. התפלגות מסוג זה מכונה התפלגות נורמלית סטנדרטית. מגרף ההתפלגות הסטנדרטי אפשר לראות ש: הגרף הוא סימטרי יחסית ל- = 0 X; א. השטח הכלוא בין עקומת הגרף לבין ציר x בגבולות שבין - = X ל- = X ב. שווה בקירוב לשטח של משבצת אחת, כלומר, ל- 1. אפשר להוכיח שהשטח הכלוא מתחת לעקומה בין הגבולות [ +, -] שווה בדיוק ל- 1. הסתברות הופעת הערכים המרוחקים מהמרכז ביותר מ- סטיות תקן היא ג. זניחה, כלומר, רוב הערכים מרוכזים בתחום של ±. s ב מקובל לסמן את סטיית התקן באות σ (סיגמה), לכן לעתים הערה: קוראים לכלל זה "כלל של שלוש סיגמה". בין גבולות שונים אפשר לחשב הכלואים את גודלם המדויק של השטחים באמצעות חשבון אינטגרלי, ותוצאות החישובים מובאות בטבלה הזאת: 0.498.5 0.494 0.477 1.5 0.4 1 0.41 0.5 0.19 גבול ימין (ביחידות של סטיית תקן s) שטח S(0<X<b) התפלגות נורמלית 09

הנתונים שבטבלה מבטאים את השטחים הכלואים בין = 0 X (מרכז ההתפלגות),a 0, S(a < X < b) לבין גבול שמימין עד ל- X, = s במדרגות של 0.5s. כדי לחשב שטח במקרה שהגבול השמאלי a אינו שווה ל- 0: מחסירים מהשטח b) S(0 < X < המתאים לגבול הימיני את השטח a),s(0 < X < (5) S(a < X < b) = S(0 < X < b) - S(0 < X < a) 1.5) < X,S(0.5 < נשתמש בערכי הטבלה ונקבל: המתאים לגבול השמאלי: לדוגמה, כדי לחשב את השטח S(0.5 < X < 1.5) = S(0 < X < 1.5) - S(0 < X < 0.5) = = 0.4-0.19 = 0.41 אם אחד או שני גבולות התחום הם שליליים (נמצאים משמאל למרכז), מנצלים את העובדה שהגרף הוא סימטרי יחסית ל- 0, ולכן השטח שמשמאל שווה לשטח הסימטרי שמימין: a) S(-a < X < 0) = S(0 < X < ו- b) S(-b < X < -a) = S(a < X < התפלגות נורמלית 10

בשיטה זו נבנה את הגרף, שבו מסומנים שטחים (באחוזים) הכלואים מתחת לעקומת גרף ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, בתחום שמ- 0 עד במדרגות של.0.5 גרף זה, כמו הטבלה, מאפשר להעריך ללא חישובים מסובכים את השטח הכלוא מתחת לעקומה בקטעים שרוחבם מספר שלם של חצא י סטיית התקן. דוגמה למשתנה אקראי X התפלגות נורמלית סטנדרטית. איזה אחוז מהנתונים שאותם מייצג X נמצאים בתחום של ±0.5? נשתמש בנתוני הטבלה ובעובדה ששטח בתחום השלילי של X שווה לשטח סימטרי בתחום החיובי: S(-0.5 < X < 0.5) = S(-0.5 < X < 0) + S(0 < X < 0.5) = = S(0 < X < 0.5) = 0.19 = 0.84 = 8.4% דוגמה 4 למשתנה אקראי X התפלגות נורמלית סטנדרטית. איזה אחוז מהנתונים שאותם מייצג X נמצאים בתחום של ±1? התפלגות נורמלית 11

S(-1 < X < 1) = S(-1 < X < 0) + S(0 < X < 1) = = S(0 < X < 1) = 0.41 = 0.68 = 68.% דוגמה 5 למשתנה אקראי X התפלגות נורמלית סטנדרטית. איזה אחוז מהנתונים שאותם מייצג X נמצאים בתחום של < 1.5 X < 0.5-? S(-0.5 < X < 1.5) = S(-0.5 < X < 0) + S(0 < X < 1.5) = = S(0 < X < 0.5) + S(0 < X < 1.5) = 0.19 + 0.4 = 0.65 = 6.5% דוגמה 6 למשתנה אקראי X התפלגות נורמלית סטנדרטית. מה אחוז הנתונים שערכם קטן מ- 1.5? מכיוון שהגרף הוא סימטרי יחסית לממוצע = 0 X, השטח הכלוא מתחת לעקומה בתחום < 0 X < - שווה ל- 0.5. לכן השטח המבוקש שווה ל- S(- < X < 1.5) = S(- < X < 0) + S(0 < X < 1.5) = = 0.5 + 0.4 = 0.9 = 9.% דוגמה 7 למשתנה אקראי X התפלגות נורמלית סטנדרטית. מה אחוז הנתונים שערכם קטן מ- 1-? השטח הכלוא מתחת לעקומת ההתפלגות בתחום 1- < X שווה להפרש השטחים: התפלגות נורמלית 1

S(- < X < -1) = S(- < X < 0) - S(-1 < X < 0) = - נציב את נתונים מהטבלה: S(- < X < -1) = 0.5 - S(0 < X < 1) = 0.5-0.41 = 0.159 = 15.9% דוגמה 8 למשתנה אקראי X התפלגות נורמלית סטנדרטית. מה אחוז הנתונים שערכם גדול מ- 1.5? השטח הכלוא מתחת לעקומת ההתפלגות בתחום X< 1.5 שווה להפרש השטחים: S(1.5 < X < ) = S(0 < X < ) - S(0 < X < 1.5) = - מציבים את נתוני הטבלה: S(1.5 < X < ) = 0.5-0.4 = 0.067 = 6.7% תרגילים מצאו את השטח הכלוא שבין עקומת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית לבין ציר X בתחום a < X < b הזה: a = 1, b = א) = 1.5 b a = 1, ב) התפלגות נורמלית ג) =.5 b a = 1, 1.1

a = 1, b = a = 1, b = 1 ד) = b a = 1, ה) ו) משתנה אקראי X מייצג את ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית של סדרת נתונים מסוימת. מצאו את אחוז הנתונים, שערכם גדול מ: א) 0 ב) 1 ג) 1.5 ד).5. - - -1.5 ה) 0.5- ו) ז) ח) משתנה אקראי X מייצג את ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית של סדרת נתונים מסוימת. מצאו את אחוז הנתונים, שערכם קטן מ: א) 0 ב) 1 ג) 1.5 ד).5. - - -1.5 ה) 0.5- ו) ז) ח) מצאו את השטח הכלוא בין עקומת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית לבין ציר X בתחום :a < X < b א) = 1.5 b a = -1, ב) = b a = -, ג) =.5 b a = -,.4 a = -, b = a = -, b = 1 ד) -1.5 = b a = -.5, ה) ו) 8 חזרה ממשתנה סטנדרטי לנתונים מקוריים כדי לחזור ממשתנה סטנדרטי לנתונים מקוריים, משתמשים בנוסחה הקודם: ונחלץ ממנה את המשתנה המקורי: שתי הנוסחאות (4) מהסעיף (4) (1) ו- (4) X = x - x s x = x + X*s (1) וגרף ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, בסעיף הקודם מאפשרות לפתור כל בעיה של התפלגות נורמלית. המתואר שלבי הפת רון א. בהסתמך על הנתונים (או על הנאמר בשאלה), מוצאים את הממוצע ; x ב. מוצאים את סטיית התקן s; ג. מעבירים, באמצעות נוסחה (4), למשתנה סטנדרטי X את נתוני הבעיה (בדרך כלל, את גבולות התחומים); התפלגות נורמלית 14

ד. מוצאים באמצעות הגרף או הטבלה של התפלגות נורמלית סטנדרטית את ערכי המשתנה הסטנדרטי X העונים לשאלות הבעיה; ה. עוברים למשתנים המקוריים באמצעות הנוסחה (1). א. א. ב. ג. דוגמה 1 (מאגר, שאלה מס. 1). ציוני מבחן שכבתי במתמטיקה מתפלגים נורמלית, כאשר הציון הממוצע הוא 68, וסטיית התקן מהממוצע היא 10. מה אחוז התלמידים שציוניהם גבוהים מ- 88? מה אחוז התלמידים שציוניהם בין מ- 58 ל- 88? מספר התלמידים שציוניהם בין מ- 58 ל- 88 הוא 90. כמה תלמידים, סך הכול, נגשו למבחן? נרשום את נתוני הבעיה: P(88 < x) =? נחליף את המשתנה לסטנדרטי ונרשום באמצעותו את הנתונים: X = x - 68 88-68 צ"ל:? = X), b = 88 ê B = =.P( < 10 10 משתמשים בגרף ומוצאים שאחוז המקרים שעבורם X גדול מ- הוא: תשובה: הערה: ב. צ"ל: 1.7% + 0.4% =.1%.1% אין צורך לחזור למשתנה x המקורי: אחוז הנתונים לא ישתנה, ישתנה רק הניסוח: במקום "אחוז המקרים שעבורם < X שווה ל-.1%" יהיה: "אחוז התלמידים שציוניהם < x 88 שווה ל-.1%". נרשום נתונים באמצעות המשתנה הסטנדרטי: נשתמש בגרף או בטבלה ונמצא: X = x - 68 10 x = 68, s = 10 58-68, a = 58 ê A = = -1 10.P(-1 < X < ) P(-1 < X < ) = P(-1< X < 0) + P(0 < X < ) = = 14.9% + 19.% + 47.7% = 81.8% התפלגות נורמלית 15

ד. על-פי הנתון והנמצא בפת רון הסעיף הקודם, 90 תלמידים מהווים 81.8% מכלל התלמידים. אם נסמן את מספר התלמידים ב- N, אפשר לרשום: 90 = 81.8% = 0.81 מכאן נמצא N N: 90 90 = N*0.818, N = 0.818 Ó 1100 כדי להתמודד בהצלחה בבעיות ב, יש לרשום את נתוני הבעיה ולשרטט את סקיצת הגרף המתאים. דוגמה (מאגר, שאלה מס. 8). הגובה של צמחי נוי מסוג מסוים מתפלג נורמלית עם ממוצע של 65 ס"מ. ידוע שרבע מהצמחים מגיעים לגובה העולה על 75 ס"מ. א. מה ההסתברות לבחור באקראי צמח נוי שגובהו מעל הממוצע, אך נמוך מ- 75 ס"מ? ב. מה אחוז הצמחים שגובהם נמוך מ- 55 ס"מ? נמקו. א. נרשום את נתוני הבעיה: צ"ל: x = 65, P(x > 75) = 1 4 P(65 < x < 75) =? במקרים מסוימים ניתן לפתור בעיה בדרכים פשוטות יותר, בהסתמך על תכונות הסימטריה של גרף ההתפלגות. נשרטט סקיצה של הגרף המתאים לנתוני הבעיה : מהגרף אפשר להסיק, שמכיוון שהשטח מימינו של הממוצע שווה ל- P(65 < x < ) = 0.5 אז השטח הנדרש שווה ל- P(65 < x < 75) = P(65 < x < ) - P(75 < x < ) = 0.5-0.5 = 0.5 התפלגות נורמלית 16

ב.? = 55) < P(x מתכונות סימטריה של הגרף רואים שתחום הגבהים (55 < x < -) הוא סימטרי לתחום ) < x < (75 יחסית לממוצע 65) =,(x לכן גם השטחים מתחת לעקומות הגרף בתחומים אלה הם שווים, וגם ההסתברויות שוות לבחור צמח מתחומים אלה: P( x < 55) = P(75 < x) = 0.5 במקרים, בהם חסר נתון כלשהו, יש לרשום אותו באות, הבעיה. בדרך כלל, הנתון החסר "מתגלה" מתוך נתוני הבעיה. ולהמשיך בפת רון דוגמה (המאגר, שאלה מס. 19). תנובת החלב היומית של פרות מתפלגת נורמלית. ידוע ש- 16% מהפרות מניבות פחות מ- 0 ליטר ביום, ו- % מהפרות מניבות פחות מ- 10 ליטר ביום. א. ח שבו את הממוצע ואת סטיית התקן של תנובת החלב היומית של הפרות. ב. מה אחוז הפרות המניבות יותר מ- 0 ליטר ליום? ג. מה אחוז הפרות המניבות יותר מ- 15 ליטר ליום? א. נסמן ב- x את התנובה היומית של פרה, ונרשום את הנתונים: P(x < 0) = 0.16, P(x < 10) = 0.0 x =? s =? נעבור למשתנה סטנדרטי. X = x - x :X s כאשר גבול התחום של משתנה x שווה ל- = 0 1 a, הגבול המתאים של X שווה ל-, A 1 = 0 - x s וכאשר גבול התחום של משתנה x שווה ל- = 10 a, הגבול המתאים של X שווה ל-. A = 10 - x s נרשום נתונים במונחים של משתנה חדש X: P(X < A 1 ) = 0.16, P(X < A ) = 0.0 התפלגות נורמלית 17

נתבונן בגרף ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, ונבדוק מה גבולות התחומים שעבורם מתקיימים שוויונות אלה. נמצא תחילה ערך A 1 כזה שעבורו מתקיים ת נאי = 0.16 ) 1.P(X < A A 1 מהגרף רואים ש- 1- = (הבדיקה: השטח מימינו מ- 1- = X שווה בערך ל- 84%, כלומר, אחוז הפרות המניבות יותר מ- 0 ליטר ליום הוא 84%, לכן אחוז הפרות שמניבות פחות מזה שווה ל- = 16% 84% - 100%)..A = - : בדומה לכך, מהתבוננות בגרף ובחיבור שטחים, נמצא את A 0. 4 % + 1.7 % =.1% - - A -1-0.5 0 1 X 0 - x s 10 - x s נרשום את A 1 ו- A באמצעות נפתור את המערכת: :s ו- x = A 1 = -1 = A = - 0 - x = -s 10 - x = -s 10 - x = *(0 - x), 10 - x = 40 - x, x = 0, s = 10 ב. מכיוון שממוצע המניבה היומית שווה ל- 0 ליטר, אחוז הפרות המניבות X = x - 0 10 יותר מ- 0 ליטר שווה ל- 50%. ג. נעבור למשתנה סטנדרטי ונרשום נתונים: 15-0, A = = -1.5 10 התפלגות נורמלית 18

צ"ל: -1.5) > P(X נשרטט סקיצה של גרף ההתפלגות, ונסמן את השטח הנדרש: נשווה עם גרף ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית: נסכם את השטחים ונקבל תשובה: P(X > -1.5) = 9.% + 14.9% + 19.% + 50% = 9.% תרגילים סקר של אורך חייהם של אנשים באוכלוסייה בת 50,000 איש הראה כי ממוצע אורך החיים בקבוצה זו הוא 76 שנה, וכי סטיית התקן היא 14 שנה. בהנחה שהתפלגות השכיחויות היא נורמלית, מ צאו: א) כמה מאנשי הקבוצה יחיו פחות מ- 48 שנה? ב) כמה מהם יחיו מעל 90 שנה? ג) כמה מהם יחיו עד הגיל הנע בין 6 ל- 8 שנה? הגיל הממוצע של 600 הצירים שבבית נבחרים מסוים הוא 6 שנה, וסטיית התקן היא 16 שנה. בהנחה, שהתפלגות הגילים היא נורמלית, מ צאו את מספר הצירים שגילם: א) למעלה מ- 8 שנה ב) למטה מ- 46 שנה ג) נע בין 45 לבין 78 שנה ד) נע בין 70 שנה לבין 86 שנה.1. התפלגות נורמלית 19